Из набора 4 черных ручек, 3 синих и 2 красных случайным образом выбираются 3

Из набора 4 черных ручек, 3 синих и 2 красных случайным образом выбираются 3 штуки. Пусть Х – количество черных ручек в выборке, Y – синих ручек, Z – красных. Составить корреляционную матрицу этих величин.

Корреляционная матрица 3х случайных величин имеет вид:
KX,XKX,YKX,ZKY,XKY,YKY,ZKZ,XKZ,YKZ,Z=DXKX,YKX,ZDYKY,ZDZ
Найдем вероятности возможных исходов опыта:
PX=0;Y=1;Z=2=C40C31C22C93=1∙3∙19!3!6!=3∙2∙37∙8∙9=128
PX=0;Y=2;Z=1=C40C32C21C93=1∙3∙29!3!6!=3∙2∙2∙37∙8∙9=114
PX=0;Y=3;Z=0=C40C33C20C93=1∙1∙19!3!6!=1∙2∙37∙8∙9=184
PX=1;Y=0;Z=2=C41C30C22C93=4∙1∙19!3!6!=4∙2∙37∙8∙9=121
PX=1;Y=1;Z=1=C41C31C21C93=4∙3∙29!3!6!=4∙3∙2∙2∙37∙8∙9=27
PX=1;Y=2;Z=0=C41C32C20C93=4∙39!3!6!=4∙3∙2∙37∙8∙9=17
PX=2;Y=0;Z=1=C42C30C21C93=4∙32∙1∙29!3!6!=4∙3∙2∙37∙8∙9=17
PX=2;Y=1;Z=0=C42C31C20C93=4∙32∙3∙19!3!6!=2∙3∙3∙2∙37∙8∙9=314
PX=3;Y=0;Z=0=C43C30C20C93=4∙1∙19!3!6!=4∙2∙37∙8∙9=121
Проверим свойство дискретной случайной величины:
i=13j=13k=12pijk=128+114+184+121+27+17+17+314+121=1
Законы распределения составляющих будут иметь вид:
PX=0=128+114+184=542; PX=1=121+27+17=1021; PX=2=17+314=514; PX=3=121
PY=0=121+17+121=521; PY=1=128+27+314=1528; PY=2=114+17=314; PY=3=184
PZ=0=184+17+314+121=512; PZ=1=114+27+17=12; PZ=2=128+121=112
 xi
 0 1 2 3
 pi
5/42 10/21 5/14 1/21
 yj
 0 1 2 3
 pj
5/21 15/28 3/14 1/84
 zk
 0 1 2
 pk
5/12 1/2 1/12
Двумерные законы:
  Y
X  0 1 2
3
0  0  1/28 1/14 1/84
1 1/21 2/7 1/7 0
2 1/7 3/14 0 0
3 1/21 0 0 0
  Z
X  0 1 2
0 1/84 1/14 1/28
1 1/7 2/7 1/21
2 3/14 1/7 0
3 1/21 0 0
  Z
Y  0 1 2
0 1/21 1/7 1/21
1 3/14 2/7 1/28
2 1/7 1/14 0
3 1/84 0 0
Находим дисперсии и ковариации:
MX=i=14xipi=0∙542+1∙1021+2∙514+3∙121=43
MY=j=14yjpj=0∙521+1∙1528+2∙314+3∙184=1
MZ=k=13 zkpk=0∙512+1∙12+2∙112=23.
MX2=i=14xi2pi=0∙542+1∙1021+4∙514+9∙121=73
MY2=j=14yj2pj=0∙521+1∙1528+4∙314+9∙184=32
MZ2=k=13zk2pk=0∙512+1∙12+4∙112=56.
DX=MX2-M2X=73-432=59
DY=MY2-M2Y=32-12=12
DZ=MZ2-M2Z=56-232=718
MXY=i=14k=14xiyjpij=0∙0∙0+0∙1∙128+0∙2∙114+0∙3∙1841∙0∙121+1∙1∙27+1∙2∙17+1∙3∙02∙0∙17+2∙1∙314+2∙2∙0+2∙3∙03∙0∙121+3∙1∙0+3∙2∙0+3∙3∙0=
=1∙1∙27+1∙2∙17+2∙1∙314=1
MXZ=i=14k=13xizkpik=0∙0∙184+0∙1∙114+0∙2∙128+1∙0∙17+1∙1∙27+1∙2∙1212∙0∙314+2∙1∙17+2∙2∙0+3∙0∙121+3∙1∙0+3∙2∙0=
=1∙1∙27+1∙2∙121+2∙1∙17=23.
MYZ=j=14k=13yjzkpik=0∙0∙121+0∙1∙17+0∙2∙121+1∙0∙314+1∙1∙27+1∙2∙1282∙0∙17+2∙1∙114+2∙2∙0+3∙0∙184+3∙1∙0+3∙2∙0=
=1∙1∙27+1∙2∙128+2∙1∙114=12.
KX,Y=MXY-MXMY=1-43∙1=-13
KX,Z=MXZ-MXMZ=23-43∙23=-29
KY,Z=MYZ-MYMZ=12-1∙23=-16
Корреляционная матрица:
59-13-29-1312-16-29-16718 или 59-13-2912-16718