Из множества 6-значных номеров 000000-999999 случайным образом выбирается один номер. Рассматриваются события: A = {каждая

Из множества 6-значных номеров 000000-999999 случайным образом выбирается один номер. Рассматриваются события: A = {каждая цифра номера встречается дважды}; B = {номер содержит только 4 различных цифры}; С = {сумма цифр номера равна 8}.

1. Всего существует 1 000 000 исходов: w1 = {0,0,0,0,0,0}, w2 = {0,0,0,0,0,1}, w3 = {0,0,0,0,0,2}, …
То есть элементарный исход имеет вид , где – номер элементарного исхода, – цифра, стоящая на первом, втором, третьем, четвертом, пятом и шестом местах соответственно.
Тогда в качестве пространства элементарных исходов можем выбрать множество, состоящее из этих элементов: .
Опишем события A, B, C в элементарных исходах:
, где , т.е. всевозможные перестановки трех пар цифр.
, где или , т.е. всевозможные перестановки четырех цифр, при этом две цифры встречаются дважды или одна цифра встречается трижды;
, где , , при этом максимальная цифра может быть равна 3, т.е

. возможны варианты: {1,1,1,1,1,3},{1,1,1,1,2,2} и их перестановки.
2. Проверим попарную несовместимость событий А, В, С:
События A и B несовместны, так как событие A содержит только три цифры, а событие B – четыре.
События A и C несовместны, так как событие A содержит три цифры, а событие C – только две цифры.
События B и C несовместны, так как событие B содержит четыре цифры, а событие C – только две цифры.
3. Так как ни одной из событий не допускает, что все цифры будут различны, данные события не образуют полную группу, так как не включает все события пространства W.
4. Согласно классическому определению, вероятностью события A называют отношение числа благоприятствующих этому событию исходов m к общему числу всех равновозможных несовместных элементарных исходов n, образующих полную группу:
.
Как было указано ранее общее число исходов равно n = 1 000 000, число благоприятствующих исходов равно числу перестановок с повторениями.
В событии A необходимо выбрать три различные цифры, каждая из которых повторяется дважды, при этом первую цифру можно выбрать 10 способами, вторую – девятью, а третью – восьмью: .
В событии B необходимо выбрать четыре, такие, что две из них не повторяются, а две повторяются дважды, либо три из них не повторяются, а одна повторяется трижды, при этом первую цифру можно выбрать 10 способами, вторую – девятью, третью – восьмью, а четвертую – семью: .
В событии C необходимо переставить либо пять «1» и одну «3» местами, либо четыре «1» и две «2»: .
Тогда:
, , .
То есть вероятность события A составляет 6,48%, события B – 15,12%, а события C – 0,0021%.
5