Из урны, содержащей 5 шаров с номерами от 1 до 5, последовательно извлекаются два

Из урны, содержащей 5 шаров с номерами от 1 до 5, последовательно извлекаются два шара, причем первый шар возвращается в урну, если его номер равен единице. Вторым был извлечен шар с номером три. Найти вероятность того, что первым был извлечен шар с номером один.

Используем формулу полной вероятности:
Если событие А происходит вместе с одним из событий Н1, Н2,…, Нn, которые составляют полную группу попарно несовместных событий, то события Нк (к = 1, 2, …, n) называют гипотезами. Если известны вероятности гипотез и условные вероятности события А при выполнении каждой из гипотез, то вероятность события А в опыте S ( так называемая полная вероятность) вычисляется по формуле
Пусть событие А – вторым будет извлечен шар с номером три .
Создадим две гипотезы:
Н1 – первым был извлечен шар с номером один;
Н2 – первым был извлечен шар с номером, не равным единице.
По условию задачи в урне один шар с номером 1, а всего 5 шаров, тогда
; .
Найдем условные вероятности извлечь шар с номером три при втором извлечении при выполнении каждой из гипотез:
1) если первым был извлечен шар с номером один, то он возвращается в урну, значит перед вторым извлечением в урне снова 5 шаров, из которых один с номером 3, поэтому вероятность вынуть шар номер 3, равна
2) если первым был извлечен шар с номером, не равным единице, то он не возвращается в урну, значит перед вторым извлечением в урне осталось 4 шара с номерами 2,3,4,5, поэтому вероятность вынуть шар номер 3, равна
По формуле полной вероятности найдем вероятность того, что вторым был извлечен шар с номером три:

Найдем вероятность того, что если вторым был извлечен шар с номером три (событие А произошло), то первым был извлечен шар с номером один (событие Н1).
Используем формулу Байеса:
.
.
Ответ: вероятность того, что первым был извлечен шар с номером один, равна 0,1667.

.
Создадим две гипотезы:
Н1 – первым был извлечен шар с номером один;
Н2 – первым был извлечен шар с номером, не равным единице.
По условию задачи в урне один шар с номером 1, а всего 5 шаров, тогда
; .
Найдем условные вероятности извлечь шар с номером три при втором извлечении при выполнении каждой из гипотез:
1) если первым был извлечен шар с номером один, то он возвращается в урну, значит перед вторым извлечением в урне снова 5 шаров, из которых один с номером 3, поэтому вероятность вынуть шар номер 3, равна
2) если первым был извлечен шар с номером, не равным единице, то он не возвращается в урну, значит перед вторым извлечением в урне осталось 4 шара с номерами 2,3,4,5, поэтому вероятность вынуть шар номер 3, равна
По формуле полной вероятности найдем вероятность того, что вторым был извлечен шар с номером три:

Найдем вероятность того, что если вторым был извлечен шар с номером три (событие А произошло), то первым был извлечен шар с номером один (событие Н1).
Используем формулу Байеса:
.
.
Ответ: вероятность того, что первым был извлечен шар с номером один, равна 0,1667.