Известны координаты в прямоугольной системе координат вершин пирамиды A1(2;4;3); A2(1;1;5); A3(4;9;3); A4(3;6;7). 4.1. найти смешанное

Известны координаты в прямоугольной системе координат вершин пирамиды A1(2;4;3); A2(1;1;5); A3(4;9;3); A4(3;6;7). 4.1. найти смешанное произведение векторов A1A2, A1A3,A1A4 и объем пирамиды A1A2A3A4; 4.2. найти каноническое уравнение прямой A1A2; 4.3. найти общее уравнение плоскости A1A2A3;

4.1. Для того, чтобы найти смешанное произведение векторов A1A2, A1A3,A1A4 нужно найти координаты этих векторов:
A1A2=(1-2;1-4;5-3)=-1;-3;2;
A1A3=(4-2;9-4;3-3)=2;5;0;
A1A4=(3-2;6-4;7-3)=1;2;4.
Найдем смешанное произведение векторов A1A2, A1A3,A1A4, которое равно определителю третьего порядка, составленного из координат указанных векторов:
A1A2×A1A3∙A1A4=-1-32250124= 2∙-12+1∙-3224+
+5∙-12+2∙-1214+0=-2∙-3∙4-2∙2+5∙-1∙4-1∙2=
=-2∙-12-4+5∙-4-2=32-30=2.
Объем пирамиды A1A2A3A4 находится по формуле:
V=16∙(АВ×АС)∙АD.
Таким образом,
V=16∙2=13 куб.ед.
4.2 . Составим каноническое уравнение прямой A1A2, используя уравнение прямой, проходящей через две точки:
x-x1x2-x1=y-y1y2-y1=z-z1z2-z1.
Тогда, уравнение прямой A1A2 примет вид:
A1A2:x-21-2=y-41-4=z-35-3→x-2-1=y-4-3=z-32.
4.3

. Составим каноническое уравнение прямой A1A2, используя уравнение прямой, проходящей через две точки:
x-x1x2-x1=y-y1y2-y1=z-z1z2-z1.
Тогда, уравнение прямой A1A2 примет вид:
A1A2:x-21-2=y-41-4=z-35-3→x-2-1=y-4-3=z-32.
4.3