Известны координаты в прямоугольной системе координат вершин пирамиды A1(3;-1;2); A2(-1;0;1); A3(1;7;3); A4(8;5;8). 4.1. найти смешанное

Известны координаты в прямоугольной системе координат вершин пирамиды A1(3;-1;2); A2(-1;0;1); A3(1;7;3); A4(8;5;8). 4.1. найти смешанное произведение векторов A1A2, A1A3,A1A4 и объем пирамиды A1A2A3A4; 4.2. найти каноническое уравнение прямой A1A2; 4.3. найти общее уравнение плоскости A1A2A3;

4.1. Для того, чтобы найти смешанное произведение векторов A1A2, A1A3,A1A4 нужно найти координаты этих векторов:
A1A2=(-1-3;0--1;1-2)=-4;1;-1;
A1A3=(1-3;7--1;3-2)=-2;8;1;
A1A4=(8-3;5--1;8-2)=5;6;6.
Найдем смешанное произведение векторов A1A2, A1A3,A1A4, которое равно определителю третьего порядка, составленного из координат указанных векторов:
A1A2×A1A3∙A1A4=-41-1-281566= -4·8·6+1·1·5+-1·
∙-2·6 – -1·8·5-1·-2·6—4·1·6=-192+5+12+
+40+12+24=-99.
Объем пирамиды A1A2A3A4 находится по формуле:
V=16∙(АВ×АС)∙АD.
Таким образом,
V=16∙-99=996=332 куб.ед.
4.2 . Составим каноническое уравнение прямой A1A2, используя уравнение прямой, проходящей через две точки:
x-x1x2-x1=y-y1y2-y1=z-z1z2-z1.
Тогда, уравнение прямой A1A2 примет вид:
A1A2:x-3-1-3=y-(-1)0-(-1)=z-21-2→x-3-4=y+11=z-2-1.
4.3

. Составим каноническое уравнение прямой A1A2, используя уравнение прямой, проходящей через две точки:
x-x1x2-x1=y-y1y2-y1=z-z1z2-z1.
Тогда, уравнение прямой A1A2 примет вид:
A1A2:x-3-1-3=y-(-1)0-(-1)=z-21-2→x-3-4=y+11=z-2-1.
4.3