Конечная геометрическая прогрессия состоит из различных натуральных чисел. Произведение членов является делителем числа 7875.

Конечная геометрическая прогрессия состоит из различных натуральных чисел. Произведение членов является делителем числа 7875. Может ли она состоять из четырех чисел. Может ли она состоять из пяти чисел.

Разложим данное число на простые множители:
N=7875=25∙315=125∙63=53∙32∙71.
Пусть b1 и q – первый член и знаменатель геометрической прогрессии. Тогда для произведения n первых членов получим:
Pn=b1∙b2∙b3∙ ⋯ ∙bn-1∙bn=b1∙b1q∙b1q2∙ ⋯ ∙b1qn-2∙b1qn-1=b1nqn(n-1)2.
Поскольку прогрессия состоит из натуральных чисел, то, очевидно, первый член является натуральным числом, а знаменатель – рациональной дробью, которая может быт представлена в виде несократимой дроби:
q=mk.
Если знаменатель дроби содержит простой множитель p, то для того, чтобы последний член bn был натуральным числом, первый член b1 должен содержать по крайней мере n - 1 степеней p . Тогда в произведении Pn получим:
Pn=b1nqn(n-1)2=P∙(pn-1)npn(n-1)2=P∙pn(n-1)pn(n-1)2=P∙pn(n-1)2=P∙pS(n),
где P – натуральное число;
Sn= n(n-1)2 - сумма n – 1 первых натуральных чисел (или же сумма первых n чисел, начиная с нуля).
S1=0= 1(1-1)2=0
S2=0+1= 2(2-1)2=1
S3=0+1+2= 3(3-1)2=3
S4=0+1+2+3= 4(4-1)2=6
S5=0+1+2+3+4= 5(5-1)2=10.
Как видим, при n = 4 и n = 5 произведение Pn содержит хотя бы 6 степеней p, но в нашем случае в числе N, значит и в его делителе, наибольшая степень простых множителей равна 3 (53).
Если же знаменатель прогрессии является натуральным числом, содержащим простой множитель p, то и в этом случае получим такое же число степеней p:
Pn=b1nqn(n-1)2=Q∙pn(n-1)2=Q∙pS(n),
где Q – натуральное число.
Следовательно, в обоих случаях произведение Pn должно содержать хотя бы S(n) степеней p, что невозможно для N = 7875 и n = 4 или 5.
Ответ: а) нет; б) нет.

. Тогда в произведении Pn получим:
Pn=b1nqn(n-1)2=P∙(pn-1)npn(n-1)2=P∙pn(n-1)pn(n-1)2=P∙pn(n-1)2=P∙pS(n),
где P – натуральное число;
Sn= n(n-1)2 - сумма n – 1 первых натуральных чисел (или же сумма первых n чисел, начиная с нуля).
S1=0= 1(1-1)2=0
S2=0+1= 2(2-1)2=1
S3=0+1+2= 3(3-1)2=3
S4=0+1+2+3= 4(4-1)2=6
S5=0+1+2+3+4= 5(5-1)2=10.
Как видим, при n = 4 и n = 5 произведение Pn содержит хотя бы 6 степеней p, но в нашем случае в числе N, значит и в его делителе, наибольшая степень простых множителей равна 3 (53).
Если же знаменатель прогрессии является натуральным числом, содержащим простой множитель p, то и в этом случае получим такое же число степеней p:
Pn=b1nqn(n-1)2=Q∙pn(n-1)2=Q∙pS(n),
где Q – натуральное число.
Следовательно, в обоих случаях произведение Pn должно содержать хотя бы S(n) степеней p, что невозможно для N = 7875 и n = 4 или 5.
Ответ: а) нет; б) нет.