На отрезке [0; 2] методом Ньютона найти корень уравнения с точностью 0,0001.

На отрезке [0; 2] методом Ньютона найти корень уравнения с точностью 0,0001.

Пусть корень ξ уравнения f(x) = 0 отделен на отрезке [a, b]. Предположим мы нашли (n-1)-ое приближение корня xn-1. Тогда n-ое приближение xn мы можем получить следующим образом. Положим: xn = xn-1 + hn-1. Раскладывая в ряд f(x = ξ) в точке xn-1, получим: f(xn) = f(xn-1+hn-1) = f(xn-1) + f’(xn-1)hn-1 = 0. Отсюда следует: . Подставим hn-1 в формулу, получим: . Геометрически метод Ньютона эквивалентен замене дуги кривой y = f(x) касательной, проведенной в некоторой точке кривой. Находим первую производную: dF/dx = 3x2 – 4x -4. Находим вторую производную: d2F/dx2 = 2 * (3x – 2). Поскольку F(0) * F(2) < 0 (т.е. значения функции на его концах имеют противоположные знаки), то корень лежит в пределах [0; 2]

. Подставим hn-1 в формулу, получим: . Геометрически метод Ньютона эквивалентен замене дуги кривой y = f(x) касательной, проведенной в некоторой точке кривой. Находим первую производную: dF/dx = 3x2 – 4x -4. Находим вторую производную: d2F/dx2 = 2 * (3x – 2). Поскольку F(0) * F(2) < 0 (т.е. значения функции на его концах имеют противоположные знаки), то корень лежит в пределах [0; 2]