На отрезке [a;b] решить методом прогонки линейную краевую задачу y''+pxy'+qxy=fx, c1ya+c2y'a=c, d1yb+d2y'b=d, c1=d1=1, c2=d2=1, fx=0. Вариант 9 a=0, b=0,8, c=0,

На отрезке [a;b] решить методом прогонки линейную краевую задачу y''+pxy'+qxy=fx, c1ya+c2y'a=c, d1yb+d2y'b=d, c1=d1=1, c2=d2=1, fx=0. Вариант 9 a=0, b=0,8, c=0, d=-1,3; px=α1+α2xx2-1, qx=β1-x2, α1=3, α2=0, β=35.

В нашем случае задача имеет вид
y''+pxy'+qxy=0,
ya+y'a=c,
yb+y'b=d;
a=0, b=0,8, c=0, d=-1,3, px=3x2-1, qx=351-x2.
Запишем конечно-разностную аппроксимацию дифференциального уравнения на равномерной сетке
xi=ih, h=b-a/N, i=0,1,…,N,
Обозначим fi – сеточное значение искомой функции yx в точке xi. Тогда конечно-разностная аппроксимация дифференциального уравнения будет
fi-1-2fi+fi+1h2+pifi+1-fi-12h+qifi=0, i=1,2,…,N-1,
где pi=pxi, qi=qxi, которая имеет второй порядок аппроксимации.
Конечно-разностная аппроксимация граничных условий
f0+f1-f0h=c,
fN+fN-fN-1h=d,
которая имеет первый порядок аппроксимации.
Преобразуем разностное уравнение
fi-1-2fi+fi+1h2+pifi+1-fi-12h+qifi=0,
2fi-1-2fi+fi+1+hpifi+1-fi-1+2h2qifi=0
2+hpifi+1+2h2qi-4fi+2-hpifi-1=0
Обозначим αi=2+hpi, βi=2h2qi-4, γi=2-hpi, φi=0, получим
αifi+1+βifi+γifi-1=φi, i=1,2,…,N-1.
Преобразуем граничные условия
f1+h-1f0=ch, h+1fN-fN-1=dh,
Обозначим α0=1, β0=h-1, γ0=0, φ0=ch, αN=0, βN=h+1, γN=-1, φN=dh, получим
α0f1+β0f0=φ0, βNfN+γNfN-1=φN.
Таким образом, получим систему линейных уравнений относительно неизвестных f0,f1,…,fN
α0f1+β0f0=φ0,
αifi+1+βifi+γifi-1=φi, i=1,2,…,N-1,
βNfN+γNfN-1=φN.
с трехдиагональной матрицей, поэтому для ее решения можно применить метод прогонки.
Прямой ход метода прогонки заключается в вычислении прогоночных коэффициентов
ui=-αiβi+γiui-1, i=1,…,N-1, u0=-α0β0,
vi=φi-γivi-1βi+γiui-1, i=1,…,N, v0=φ0β0.
Обратный ход метода прогонки заключается в вычислении искомых fi по формулам
fN=vN, fi=uifi+1+vi, i=N-1,N-2,…,1,0.
Зададим разбиение h=0,2 (N=4), тогда x0=0; x1=0,2; x2=0,4; x3=0,6; x4=0,8

. Результаты расчетов занесем в таблицу 1
Таблица 1
i
xi
pi
qi
φi
αi
βi
γi
ui
vi
fi
0 0 -3,0000 35,0000 0,0000 1,0000 -0,8000 0,0000 1,2500 0,0000 -0,0494
1 0,2 -3,1250 35,7217 0,0000 1,3750 -1,1423 2,6250 -0,6428 0,0000 -0,0395
2 0,4 -3,5714 38,1881 0,0000 1,2857 -0,9449 2,7143 0,4780 0,0000 0,0615
3 0,6 -4,6875 43,7500 0,0000 1,0625 -0,5000 2,9375 -1,1752 0,0000 0,1286
4 0,8 -8,3333 58,3333 -0,2600 0,0000 1,2000 -1,0000
-0,1095 -0,1095
Зададим разбиение h=0,1 (N=8), тогда x0=0; x1=0,1; x2=0,2; x3=0,3; x4=0,4; x5=0,5; x6=0,6; x7=0,7; x8=0,8