На вход стационарной линейной динамической системы, описываемой уравнением , подается стационарный случайный процесс с

На вход стационарной линейной динамической системы, описываемой уравнением , подается стационарный случайный процесс с характеристиками: = , =. Найдите математическое ожидание и дисперсию случайного процесса на выходе системы в установившемся режиме.

Для нахождения my воспользуемся формулой my=bm*mxan=11*520=2.75
Найдем спектральную плотность на выходе системы, воспользовавшись формулами Винера-Хинчина:
sxw=12π-∞+∞Kxτe-iwτdτ=12π-∞+∞5.5exp-10τ3e-iwτdτ=12π-∞05.5exp10τ3e-iwτdτ+12π0+∞5.5exp-10τ3e-iwτdτ=114π-∞0expτ103-iwdτ+114π0+∞expτ-103-iwdτ=limA→-∞(11expτ103-iw4π103-iw)0-∞+limB→+∞(11expτ-103-iw4π-103-iw)+∞0==1π*1659w2+ 100
Для корреляционной функции Kxτ=σ2exp-ατ (α>0) спектральная плотность в комплексной форме имеет вид
sxw=1π*ασ2w2+α2
В нашем случае σ2=5.5, α=103
Для нахождения передаточной функции и частотной характеристики запишем заданное дифференциальное уравнение в операторной форме
10pYt+20Yt=-30pXt+11X(t)
(10p+20)Yt=(-30p+11)X(t)
Yt=-30p+1110p+20X(t)
Фp=-30p+1110p+20-передаточная функция
Заменив оператор дифференцирования p в передаточной функции аргументом iw,
получим частотную характеристику:
Фiw=-30iw+1110iw+20
и квадрат модуля частотной характеристики:
Фiw2=112+-30w210w2+202=900 w2+ 121100 w2+ 400
Определим спектральную плотность на выходе системы по формуле Хинчина:
syw=Фiw2sxw=900 w2+ 121100 w2+ 400*1π*55/3w2+1009=900 w2+ 121100 w2+ 400*1π*1659w2+100
Находим дисперсию на выходе системы:
Dy=-∞∞sywdw=-∞∞900 w2+ 121100 w2+ 400*1π*1659w2+100dw≈31.56