На вход сглаживающего фильтра подается «белый» шум, имеющий спектральную плотность S0=100 (мкв)2/Гц. Для данной

На вход сглаживающего фильтра подается «белый» шум, имеющий спектральную плотность S0=100 (мкв)2/Гц. Для данной схемы R=103 кОм, L=m∙10-3Гн, m=7 L=5∙10-3Гн. Найти: 1) комплексную передаточную функцию K(jω) фильтра; 2) спектральную плотность S(ω) на выходе фильтра; 3) ковариационную функцию K(τ) на выходе фильтра; 4) дисперсию D сигнала на выходе фильтра. При вычислениях воспользоваться формулой: -∞∞ejωτ(α2+ω2)dω=20∞cosωτ(α2+ω2)dω=παe-α|τ|

Дифференциальное уравнение, описывающее связь между входным и выходным напряжением LR - цепочки, имеет вид:
du2tdt+au2t=au1t;a=RL-апериодическое звено
Апериодические звенья относятся по классификации к позиционным звеньям. Апериодическое звено - это звено, которое описывается следующим дифференциальным уравнением (учитывается демпфирование):
a1u2t+a0u2t=b0u1(t)
Преобразуем уравнение к стандартному виду:
Tdu2tdt+u2t=ku1t;T=LR=5∙10-9
k = 1– статистический коэффициент усиления безынерционного звена.
Решение однородного дифференциального уравнения:
Tdu2tdt+u2t=0
du2(t)u2=-dtt
lnu2=-tT+c u2=c1e-tT
Методом вариации постоянной получаем решение неоднородного уравнения
Tdc1tdte-tT=1
dc1t=1TetTdt
c1t=etT+c
Тогда:
u2=etT+c e-tT=1+ce-tT
Находим постоянную из условия y0=0:
0=1+c c=-1 u2t=1-e-tTu1(t)
Используя преобразования Лапласа получим:
TSU2S+U2S=kU1S U2S=kTS+1U1S
Передаточной функцией звена называется комплексный коэффициент, связывающий изображение входного и выходного сигнала при нулевых начальных условиях, и который находится как отношение Лапласа выходной к входной величин при нулевых начальных условиях, т.е.:
WS=U2SU1S=kTS+1
Подставляя вместо S =jω, получим комплексную передаточную функцию:
Kjω=kjTω+1
Преобразование Лапласа переходной функции имеет вид:
HS=WS1S=kSTS+1=kS-kS+1/T
Переходя от отображения к оригиналу получаем переходную функцию:
ht=1-e-kTt∙1t=1-e-109t5∙u1t
Дифференцируя, получаем импульсно-переходную функцию:
kt=1095e-109t5u1t
Спектральной плотностью S(ω) стационарного случайного процесса называется предел отношения дисперсии, приходящейся на интервал частот ∆ω к длине этого интервала, когда последняя стремится к нулю:
Sω=lim∆ω→0D∆ω
Спектральная плотность для заданной ковариационной функции равна:
Sω=2π0∞K(τ)cos⁡(ωτ)dτ
Так как:
0∞e-aτ∙cosωτdτ=αα2+ω2
А ковариационная функция (с учетом S0=100мкв2Гц=100∙10-12в2Гц):
Kτ=150e-109|τ|5
То получаем спектральную плотность на выходе фильтра:
Sω=2π∙150*109510952+ω2=1095π(1018+25ω2)
А дисперсия равна:
D=K0=150