На вход линейной динамической системы, описываемой дифференциальным уравнением 3y't+yt=4x't+x(t) подается стационарный случайный процесс x(t)

На вход линейной динамической системы, описываемой дифференциальным уравнением 3y't+yt=4x't+x(t) подается стационарный случайный процесс x(t) с ковариационной функцией Kxt=(m+k)e-(m+k)|t| Найти дисперсию случайного процесса на выходе системы в установившемся режиме. km=05 Kxt=5e-5|t|

Записываем передаточную функции системы по заданному дифференциальному уравнению:
Hλ=4λ+13λ+1
Подставляя λ=jω, получаем амплитудно-частотную характеристику системы:
Kjω=4λ+13λ+1 4jω+13jω+1
Находим квадрат модуля АЧХ:
Kjω2=12+4ω212+3ω2=1+16ω21+9ω2
Спектральная плотность Sx(ω) для ковариационной функции Kxt=σx2e-a|t| имеет вид:
Sxω=2aσx2πω2+a2
В нашем случае a= σx2=8 , поэтому спектральная плотность равна:
Sxω=50π(ω2+25)
Спектральная плотность на выходе системы связана со спектральной плотностью на входе системы соотношением:
Syω=Kjω2Sxω
В нашем случае имеем:
Syω=50(1+16ω2)π1+9ω2(ω2+25)
Дисперсия случайного процесса связана со спектральной плотностью соотношением:
Dy=12-∞∞Syωdω
В нашем случае:
Dy=12-∞∞50(1+16ω2)π1+9ω2(ω2+25)dω=25π-∞∞1+16ω21+9ω2(ω2+25)dω
Раскладываем подынтегральное выражение на сумму элементарных дробей:
1+16ω21+9ω2(ω2+25)=Aω+B1+9ω2+Cω+Dω2+25
Имеем:
Aω+B1+9ω2+Cω+Dω2+25=Aω+Bω2+25+Cω+D1+9ω21+9ω2ω2+25=
=A+9Cω3+B+9Dω2+25A+Cω+25B+D1+9ω2ω2+25≡1+16ω21+9ω2(ω2+25)
Тогда:
A+9C=0B+9D=1625A+C=025B+D=1 A=0B=-132C=0D=5732
И дисперсия равна:
Dy=2532π-∞∞57ω2+25-11+9ω2dω=
=2532π575arctgω5-13arctg3ω-∞∞
=2532πlimM→∞575arctgω5-13arctg3ω-MM=2532π57π5-π3=41548≈8,65