На вход линейной динамической системы, описываемой дифференциальным уравнением 3y't+yt=4x't+x(t) подается стационарный случайный процесс x(t). 2

На вход линейной динамической системы, описываемой дифференциальным уравнением 3y't+yt=4x't+x(t) подается стационарный случайный процесс x(t) с ковариационной функцией Kxt=(m+k)e-(m+k)|t| Найти дисперсию случайного процесса на выходе системы в установившемся режиме. m+k=2 Kxt=2e-2|t|

Подставляя λ=jω, получаем амплитудно-частотную характеристику системы:
Kjω=4λ+13λ+1 4jω+13jω+1
Находим квадрат модуля АЧХ:
Kjω2=12+4ω212+3ω2=1+16ω21+9ω2
Спектральная плотность Sx(ω) для ковариационной функции Kxt=σx2e-a|t| имеет вид:
Sxω=2aσx2πω2+a2
В нашем случае a= σx2=2 , поэтому спектральная плотность равна:
Sxω=8π(ω2+4)
Спектральная плотность на выходе системы связана со спектральной плотностью на входе системы соотношением:
Syω=Kjω2Sxω
В нашем случае имеем:
Syω=8(1+16ω2)π1+9ω2(ω2+4)
Дисперсия случайного процесса связана со спектральной плотностью соотношением:
Dy=12-∞∞Syωdω
В нашем случае:
Dy=12-∞∞8(1+16ω2)π1+9ω2(ω2+4)dω=4π-∞∞1+16ω21+9ω2(ω2+4)dω
Раскладываем подынтегральное выражение на сумму элементарных дробей:
1+16ω21+9ω2(ω2+4)=Aω+B1+9ω2+Cω+Dω2+4
Имеем:
Aω+B1+9ω2+Cω+Dω2+4=Aω+Bω2+4+Cω+D1+9ω21+9ω2ω2+4=
=A+9Cω3+B+9Dω2+4A+Cω+4B+D1+9ω2ω2+4≡1+16ω21+9ω2(ω2+4)
Тогда:
A+8C=0B+9D=164A+C=04B+D=1 A=0B=-15C=0D=95
И дисперсия равна:
Dy=45π-∞∞9ω2+4-11+9ω2dω=
=45π92arctgω2-13arctg3ω-∞∞
=45πlimM→∞92arctgω2-13arctg3ω-MM=45π9π2-π3=103≈3,33