Найти аналитическую функцию w=fz по известной ее действительной или мнимой части. ux,y=3x2y-y3+x+5.

Найти аналитическую функцию w=fz по известной ее действительной или мнимой части. ux,y=3x2y-y3+x+5.

Так как искомая функция является аналитической, следовательно, выполнены условия Коши-Римана:
∂u∂x=∂v∂y;∂u∂y=-∂v∂x.
∂u∂x=∂∂x3x2y-y3+x+5=6xy+1;
∂u∂y=∂∂y3x2y-y3+x+5=3x2-3y2.
Тогда
∂v∂x=3y2-3x2; ∂v∂y=6xy+1.
Интегрируя, первое равенство по x, имеем:
v=∂v∂xdx=3y2-3x2dx=3xy2-x3+φy.
Дифференцируя полученное соотношение по y и используя второе равенство, находим искомую функцию:
∂u∂y=∂∂y3xy2-x3+φy=6xy+φ'y=6xy+1⇒
φ'y=1⇒φy=dy=y+C⇒v=3xy2-x3+y+C⇒
fz=3x2y-y3+x+5+i3xy2-x3+y+C=
=-ix+iy3+x+iy+5+iC=-iz3+z+5+iC⇒
f(z)=-iz3+z+5+iC.
Ответ: f(z)=-iz3+z+5+iC.