Найти градиент и матрицу Гессе функции fx=3x12-x22+14x1-12+51-x22.

Найти градиент и матрицу Гессе функции fx=3x12-x22+14x1-12+51-x22.

Градиент функции двух переменных имеет вид:
gradfx=∂f∂x1i+∂f∂x2j.
Матрица Гессе для функции двух переменных имеет вид:
Hf=∂2f∂x12∂2f∂x1∂x2∂2f∂x2∂x1∂2f∂x22.
Найдем частные производные первого и второго порядков от данной функции fx:
∂f∂x1=∂∂x13x12-x22+14x1-12+51-x22=
=3∂∂x1x12-x22+14∂∂x1x1-12+51-x22∂∂x11=
=3∙2x12-x2∂∂x1x12-x2+14∙2x1-1∂∂x1x1-1+51-x22∙0=
=6x12-x2∙2x1+14∙2x1-1∙1+0=12x13-12x1x2+28x1-28.
∂f∂x2=∂∂x23x12-x22+14x1-12+51-x22=
=3∂∂x2x12-x22+14x1-12∂∂x21+5∂∂x21-x22=
=3∙2x12-x2∂∂x2x12-x2+14x1-12∙0+5∙21-x2∂∂x21-x2=
=6x2-x12+0+10x2-1=-6x12+16x2-10.
∂2f∂x12=∂∂x1∂f∂x1=∂∂x112x13-12x1x2+28x1-28=36x12-12x2+28,
∂2f∂x22=∂∂x2∂f∂x2=∂∂x2-6x12+16x2-10=16,
∂2f∂x1∂x2=∂2f∂x2∂x1=∂∂x1∂f∂x2=∂∂x1-6x12+16x2-10=-12x1.
Тогда градиент функции fx в произвольной точке Mx1,x2 имеет вид
gradfx=43x13-3x1x2+7x1-7i-23x12-8x2+5j.
Матрица Гессе функции fx в произвольной точке Mx1,x2 имеет вид
Hf=49x12-3x2+7-12x1-12x116.