Найти выражение uLt, uCt, uRt, uвхt, проверить баланс мощностей, если it=20⋅sinωt+30∘, XL=20 Ом;XC=40 Ом;R=20

Найти выражение uLt, uCt, uRt, uвхt, проверить баланс мощностей, если it=20⋅sinωt+30∘, XL=20 Ом;XC=40 Ом;R=20 Ом для схемы, изображённой на рис. 10. Рис. 10 – Исследуемая схема электрической цепи

Комплексное значение входного тока равно:
I=20⋅ej30∘ А.
Определим общее сопротивление цепи:
Z=jXL-jXC+R=j20-j40+20=20-j20=28.28⋅e-j45∘ Ом.
Комплексное значение входного напряжения равно:
Uвх=I⋅Z=20⋅ej30∘⋅28.28⋅e-j45∘=565.69⋅e-j15∘ В.
Комплексные значения напряжений на элементах цепи равны:
UL=I⋅jXL=20⋅ej30∘⋅20⋅ej90∘=400⋅ej120∘ В;
UC=I⋅-jXC=20⋅ej30∘⋅40⋅e-j90∘=800⋅e-j60∘ В;
UR=I⋅R=20⋅ej30∘⋅20=400⋅ej30∘ В.
Таким образом, мгновенные значения принимают вид:
uвхt=565.56⋅sinωt-15∘ В;
uLt=400⋅sinωt+120∘ В;
uCt=800⋅sinωt-60∘ В;
uRt=400⋅sinωt+30∘ В.
Проверим баланс мощностей:
Мощность источника равна:
Sист=Uвх⋅I*=565.69⋅e-j15∘⋅20⋅e-j30∘=11.3⋅103⋅e-j45∘=8-j8⋅103 ВА;
Pист=ReSист=Re8-j8⋅103=8⋅103 Вт;
Qист=ImSист=Im8-j8⋅103=-8⋅103 ВАр;
Sист=Pист2+Qист2=8⋅1032+-8⋅1032=565.69 ВА.
Мощность нагрузки равна:
Sнагр=UL+UC+UR⋅I*=400⋅ej120∘+800⋅e-j60∘+400⋅ej30∘⋅20⋅e-j30∘=11.3⋅103⋅e-j45∘=8-j8⋅103 ВА;
Pнагр=ReSнагр=Re8-j8⋅103=8⋅103 Вт;
Qнагр=ImSнагр=Im8-j8⋅103=-8⋅103 ВАр;
Sнагр=Pнагр2+Qнагр2=8⋅1032+-8⋅1032=565.69 ВА.
Условие баланса мощностей выполняется.