Найти решение уравнения: x''+5x'-7x=e4t+5,x0=x'0=0

Найти решение уравнения: x''+5x'-7x=e4t+5,x0=x'0=0

Применяем преобразование Лапласа:
x Xp
x' pXp-x0=pXp
x'' p2Xp-px0-x'0=p2Xp
e4t 1p-4
5 5p
И получаем операторное уравнение:
p2Xp+5pXp-7Xp=1p-4+5p
Xp=1p-4p2+5p-7+5pp2+5p-7
Первую дробь представляем суммой дробей вида:
Ap-4+Bp+Cp2+5p-7
Тогда:
Ap-4+Bp+Cp2+5p-7=Ap2+5p-7+Bp+Cp-4p-4p2+5p-7=
=A+Bp2+5A-4B+Cp+(-7A-4C)p-4p2+5p-7≡1p-4p2+5p-7
Приравниваем соответствующие коэффициенты:
A+B=05A-4B+C=0-7A-4C=1 A=129B=-129C=-929
Получили:
1p-4p2+5p-7=129∙1p-4-129∙p+9p2+5p-7
Вторую дробь представляем суммой дробей вида:
Ap+Bp+Cp2+5p-7
Тогда:
Ap+Bp+Cp2+5p-7=Ap2+5p-7+Bp+Cpp-4p2+5p-7=
=A+Bp2+5A+Cp-7Ap-4p2+5p-7≡5pp2+5p-7
Приравниваем соответствующие коэффициенты:
A+B=05A+C=0-7A=5 A=-57B=57C=257
Получили:
5pp2+5p-7=-57∙1p+17∙5p+25p2+5p-7
Тогда:
Xp=129∙1p-4-129∙p+9p2+5p-7-57∙1p+17∙5p+25p2+5p-7=
=129∙1p-4-57∙1p+1203∙138p+662p2+5p-7=
=129∙1p-4-57∙1p+1203∙138p+52+317p+522-534=
=129∙1p-4-57∙1p+138203∙p+52p+522-534+63420353∙532p+522-534
Учитывая, что:
pp2-534 ch532t; 532p2-534 sh532t
И применяя теорему о смещении изображения:
e-atft Fp+a
Восстанавливаем оригинал и получаем решение задачи:
xt=e4t29-57+e-52t203138ch532t+6345353sh532t