Найти решение первой смешанной задачи методом Фурье для уравнения теплопроводности на отрезке: ut=25uxx, 0<x<8, t>0, (1) ux,0=x24,

Найти решение первой смешанной задачи методом Фурье для уравнения теплопроводности на отрезке: ut=25uxx, 0<x<8, t>0, (1) ux,0=x24, 0≤x≤4,8-x, 4<x≤8. (2) u0,t=u8,t=0, (3)

Для решения задачи (1) − (3) применим метод Фурье разделения переменных. Будем искать нетривиальное решение задачи в виде
ux,t=Xx∙Tt.
Подставим предполагаемую форму решения в исходное уравнение (1)
Xx∙T' (t)=25X''(x)∙T(t)
Разделим равенство на 25Xx∙T(t)
T' (t)25T(t)=X''xXx=-λ=const ,
т.к. левая часть равенства зависит только от t, а правая – только от x.
В результате переменные разделяются, и получается два линейных обыкновенных дифференциальных уравнения
T'(t)+25λTt=0,
X''(x)+λXx=0.
Подставляя ux,t в виде Xx∙Tt в граничные условия (3), получим
u0,t=X0⋅Tt=0, u8,t=X8⋅Tt=0.
Поскольку равенства должны выполняться тождественно, то
X0=0, X8=0.
Таким образом, для функции X(x) получили задачу Штурма-Лиувилля
X''(x)+λXx=0X0=0, X8=0
Общее решение имеет вид
Xx=C1cosλx+C2 sinλx.
Неизвестные коэффициенты C1, C2 найдем из граничных условий
X0=C1=0 X8=C2 sin8λ=0
Получили спектральное уравнение для нахождения собственных значений λ задачи Штурма-Лиувилля
sin8λ=0,
8λ=πn, n=1,2,…
Собственные значения задачи равны
λn=πn82, n=1,2,…
Им соответствуют собственные функции (с точностью до постоянного множителя)
Xnx=sinπnx8, n=1,2,…
Уравнение для функции Tt примет вид
Tn't+25πn82Tnt=0.
Tn'(t)+5πn82Tnt=0.
Общее решение этого уравнения имеет вид
Tnt=Ane-5πn82t.
Решение ux,t исходной задачи записывается в виде
ux,t=n=1∞TntXnx=n=1∞Ane-5πn82tsinπnx8.
Коэффициенты An этого ряда найдем из начального условия (2)
ux,0=n=1∞Ansinπnx8=x24, 0≤x≤4,8-x, 4<x≤8.
Коэффициенты An представляют собой коэффициенты разложения функции в правой части в ряд Фурье по собственным функциям sinπnx8n=1∞
An =2804x24sinπnx8dx+488-xsinπnx8dx=
=14-8πn04x24dcosπnx8+488-xdcosπnx8=
=-2πnx24cosπnx804-042x4cosπnx8dx+8-xcosπnx848+48cosπnx8dx=
=-2πn4cosπn2-1204xcosπnx8dx-4cosπn2+48cosπnx8dx=
=-2πn8πn-1204x dsinπnx8+sinπnx848=
=-16π2n2-12xsinπnx804-04sinπnx8dx+sinπn-sinπn2=
=-16π2n2-124sinπn2+8πncosπnx804-sinπn2=
=-16π2n2-3sinπn2-4πncosπn2-1=-16π2n2-3sinπn2-4πncosπn2+4πn=
=16π3n33πnsinπn2+4cosπn2-4.
Таким образом, решение исходной смешанной задачи имеет вид
ux,t=n=1∞16π3n33πnsinπn2+4cosπn2-4e-5πn82tsinπnx8.
Ответ:
ux,t=16π3n=1∞1n33πnsinπn2+4cosπn2-4e-5πn82tsinπnx8.