Найти решение смешанной краевой задачи для уравнения теплопроводности ut=16uxx, 0<x<4, t>0, (1) ux,0=φx=x22, 0≤x≤2, 4-x, 2<x≤4 (2) u0,t=u4,t=0. (3)

Найти решение смешанной краевой задачи для уравнения теплопроводности ut=16uxx, 0<x<4, t>0, (1) ux,0=φx=x22, 0≤x≤2, 4-x, 2<x≤4 (2) u0,t=u4,t=0. (3)

Для решения смешанной задачи (1) − (3) применим метод Фурье разделения переменных. Будем искать нетривиальное решение задачи в виде произведения
ux,t=Xx∙Tt.
Подставим предполагаемую форму решения в исходное уравнение (1)
Xx∙T't=16X''x∙Tt.
Разделим равенство на 16Xx∙T(t)
T'(t)16T(t)=X''xXx=-λ=const,
т.к. левая часть равенства зависит только от t, а правая – только от x.
В результате переменные разделяются, и получается два линейных обыкновенных дифференциальных уравнения
T't+16λTt=0,
X''(x)+λXx=0.
Подставляя ux,t в виде Xx∙Tt в граничные условия (3), получим
X0⋅Tt=0, X4⋅Tt=0.
Поскольку равенства должны выполняться тождественно, то
X0=0, X4=0.
Таким образом, для функции X(x) получили задачу Штурма-Лиувилля
X''(x)+λXx=0X0=0, X4=0
Общее решение имеет вид
Xx=C1cosλx+C2 sinλx.
Неизвестные коэффициенты C1, C2 найдем из граничных условий
X0=C1=0 X4=C2 sin4λ=0
Получили спектральное уравнение для нахождения собственных значений λ задачи Штурма-Лиувилля
sin4λ=0,
4λn=πn, n=1,2,…
Собственные значения задачи равны
λn=πn42, n=1,2,…
Им соответствуют собственные функции
Xnx=sinπnx4, n=1,2,…
Уравнение для функции Tt примет вид
Tn'(t)+16πn22Tnt=0.
Tn'(t)+2πn2Tnt=0.
Общее решение этого уравнения имеет вид
Tnt=Ane-4π2n2t.
Следовательно, функции
unx,t=Ane-2πn2tsinπnx4, n=1,2,…
будут решениями уравнения (1)