Найти условный экстремум в задаче fx=2x1+x2→extr при ограничении g1x=x12+x22-5=0. Вычислить значения функции в точках условного экстремума.

Найти условный экстремум в задаче fx=2x1+x2→extr при ограничении g1x=x12+x22-5=0. Вычислить значения функции в точках условного экстремума.

Решим задачу методом множителей Лагранжа. Функция Лагранжа имеет вид
Lx1,x2;λ=2x1+x2+λx12+x22-5.
Найдем стационарные точки функции
Lx1,x2;λ:∂L∂x1=2+2λx1=0∂L∂x2=1+2λx2=0∂L∂λ=x12+x22-5=0⇒x1=-1λ,x2=-12λ ⇒
1λ2+14λ2-5=0⇒54λ2=5⇒λ2=14⇒λ1=-12,λ2=12⇒
M12,1, M2-2,-1-стационарные точки функции Лагранжа.
Найдем второй дифференциал функции Лагранжа:
∂2L∂x12=2λ, ∂2L∂x22=2λ, ∂2L∂x1∂x2=0⇒
d2L=2λdx12+dx22⇒
d2LM1,λ1=-dx12+dx22.
Из уравнения связи x12+x22-5=0, дифференцируя, имеем
2x1dx1+2x2dx2=0.
Тогда в точке M12,1 имеем
4dx1+2dx2=0⇒dx2=-2dx1.
Подставляя во второй дифференциал, получаем
d2LM1,λ1=-dx12+4dx12=-5dx12<0⇒
M12,1-точка условного максимума.
fmax=f2,1=4+1=5.
Исследуем точку M2-2,-1:
d2LM2,λ2=dx12+dx22.
Тогда в точке M2-2,-1 имеем
-4dx1-2dx2=0⇒dx2=-2dx1.
Подставляя во второй дифференциал, получаем
d2LM2,λ2=dx12+4dx12=5dx12>0⇒
M2-2,-1-точка условного минимума.
fmin=f-2,-1=-4-1=-5.