Найти зависимость между средней скоростью Y (км/час) прохождения пути и температурой Х (0С) смазочного

Найти зависимость между средней скоростью Y (км/час) прохождения пути и температурой Х (0С) смазочного масла в коробке передач у 100 автомобилей: Y Х 20 25 30 35 40 45 ny 20 3 3 6 30 5 4 9 40 12 30 42 50 5 10 14 29 60 5 9 14 nx 3 8 21 40 19 9 100

Используя данные табл., строим корреляционное поле (рис.).
2787014251460
Проведя условную линию трэнда, видим, что число точек, расположенных над и под ней, практически одинаково, причем расстояния этих точек до линии трэнда одинаковые. Это дает основание предположить наличие линейной зависимости между признаками X и Y. Для подтверждения этой гипотезы перейдем от данного распределения к новому, найдя для каждого значения признак X условное среднее признака Y по формуле:
.
При х1=20, .
При х2=25, .
При х3=30, .
При х4=35, .
При х5=40, .
При х6=45, .
Строим точки с координатами.
3044190299085
Из рис. видно, что отклонения точек от построенной прямой незначительны

. Следовательно, связь между признаками X и Y может носить линейный характер. Составим уравнения линий регрессий y на x по методу наименьших квадратов и через коэффициент линейной корреляции r. Применим метод наименьших квадратов к нахождению коэффициентов a0 и a1 уравнения линейной регрессии yˆx=a1x+a0. Решаем систему нормальных уравнений:
.
Для нахождения сумм, входящих в систему составляем табл.
Y Х 20 25 30 35 40 45 ny
20
3 3
6 120
30
5 4
9 270
40
12 30
42 1680
50
5 10 14
29 1450
60
5 9 14 840
nx
3 8 21 40 19 9 100 4360

60 200 630 1400 760 405 3455 -

1200 5000 18900 49000 30400 18225 122725 -

1200 5250 25500 59500 40000 243000 155750 -
Пользуясь табл., записываем и решаем систему уравнений:
.
Тогда уравнение линейной регрессии запишется в виде
yˆx=1,524x-9,048.
Определим степень зависимости путем расчета коэффициента корреляции по формуле:
.
Найдем необходимые числовые характеристики.
Выборочные средние:
(20×3 + 25(3 + 5) + 30(4 + 12 + 5) + 35(30 + 10) + 40(14 + 5) +
+45×9)/100 = 34,55.
(20(3 + 3) + 30(5 + 4) + 40(12 + 30) + 50(5 + 10 + 14) +
+60(5 + 9))/100 = 43,6.
Дисперсии:
σ2x = (202*×3 + 252(3 + 5) + 302(4 + 12 + 5) + 352(30 + 10) + 402(14 + 5) +
+452×9)/100 – 34,552 = 33,55.
σ2y = (202(3 + 3) + 302(5 + 4) + 402(12 + 30) + 502(5 + 10 + 14) +
+602(5 + 9))/100 – 43,62 = 105,04.
Откуда получаем среднеквадратические отклонения:
σx = 5,792 и σy = 10,249.
и ковариация:
Cov(x,y) = (20×20×3 + 25×20×3 + 25×30×5 + 30×30×4 + 30×40×12 +
+ 35×40×30 + 30×50×5 + 35×50×10 + 40×50×14 + 40×60×5 +
+45×60×9)/100 – 34,55×43,6 = 51,12.
Определим коэффициент корреляции:
.
Так как коэффициент корреляции приближен к 1, то связь прямая и тесная.
Зависимость между средней скоростью Y (км/час) прохождения пути и температурой Х (0С) смазочного масла в коробке передач у 100 автомобилей можно выразить уравнением регрессии вида: yˆx=1,524x-9,048