Найти закон распределения, математическое ожидание и дисперсию случайной величины X. Построить график функции распределения

Найти закон распределения, математическое ожидание и дисперсию случайной величины X. Построить график функции распределения и найти вероятность события X < k. 1. Ведётся стрельба до первого попадания, но не свыше 5 выстрелов. Вероятность попадания при каждом выстреле равна 0,7. X – число произведённых выстрелов. k = 3.

Случайная величина Х - число произведенных выстрелов до первого попадания (до первого успеха) – имеет геометрическое распределение с параметром .
Если вероятность успеха в каждом испытании равняется р, то , k ≥ 1.
Случайная величина Х может принимать одно из таких значений: х = 1,2,3,4,5. Найдем вероятность этих значений. В данном случае р = 0,7 – вероятность успеха, q = 0,3 – вероятность промаха.
Если стрелок попал при первом же выстреле, то Х = 1 . Вероятность попадания р = 0,7. Тогда Р(Х=1) = р = 0,7 .
Если стрелок промахнулся при первом выстреле (с вероятностью q = 0,3), а при втором – попал (р = 0,7), то количество выстрелов равняется двум, то есть Х = 2; вероятность этого события Р(Х=2) = q·р = 0,3∙ 0,7 = 0,21.
Если стрелок промахнулся при первом и втором выстрелах ( с вероятностью q = 0,3), а при третьем – попал (р = 0,7), то количество патронов равняется трем, то есть Х = 3; вероятность этого события Р(Х=3) = q2 ·р = 0,32∙ 0,7 = 0,063.
Если стрелок промахнулся при первом и втором и третьем выстрелах ( с вероятностью q = 0,3), а при четвертом – попал (р = 0,7), то количество патронов равняется 4, то есть Х= 4; вероятность этого события Р(Х=4) = q3 ·р = 0,33∙ 0,7 = 0,0189.
Если стрелок промахнулся при первых четырех выстрелах (с вероятностью q = 0,3), то он точно будет стрелять 5-й (последний) раз, так как патронов всего 5, поэтому вероятность этого события Р(Х=5) = q4 = 0,34 = 0,0081.
Получаем ряд распределения числа израсходованных патронов:
Х хі 1 2 3 4 5
pі 0,7 0,21 0,063 0,0189 0,0081
Проверка: сумма всех вероятностей должна быть = 1:
.
По данным таблицы находим математическое ожидание М(х) и диспеpсию D(х):
Среднеквадратическое отклонение .
Построим многоугольник распределения:
Функция распределения вероятностей:
;
;
;
;
Тогда
Вероятность события X < 3:

. Вероятность попадания р = 0,7. Тогда Р(Х=1) = р = 0,7 .
Если стрелок промахнулся при первом выстреле (с вероятностью q = 0,3), а при втором – попал (р = 0,7), то количество выстрелов равняется двум, то есть Х = 2; вероятность этого события Р(Х=2) = q·р = 0,3∙ 0,7 = 0,21.
Если стрелок промахнулся при первом и втором выстрелах ( с вероятностью q = 0,3), а при третьем – попал (р = 0,7), то количество патронов равняется трем, то есть Х = 3; вероятность этого события Р(Х=3) = q2 ·р = 0,32∙ 0,7 = 0,063.
Если стрелок промахнулся при первом и втором и третьем выстрелах ( с вероятностью q = 0,3), а при четвертом – попал (р = 0,7), то количество патронов равняется 4, то есть Х= 4; вероятность этого события Р(Х=4) = q3 ·р = 0,33∙ 0,7 = 0,0189.
Если стрелок промахнулся при первых четырех выстрелах (с вероятностью q = 0,3), то он точно будет стрелять 5-й (последний) раз, так как патронов всего 5, поэтому вероятность этого события Р(Х=5) = q4 = 0,34 = 0,0081.
Получаем ряд распределения числа израсходованных патронов:
Х хі 1 2 3 4 5
pі 0,7 0,21 0,063 0,0189 0,0081
Проверка: сумма всех вероятностей должна быть = 1:
.
По данным таблицы находим математическое ожидание М(х) и диспеpсию D(х):
Среднеквадратическое отклонение .
Построим многоугольник распределения:
Функция распределения вероятностей:
;
;
;
;
Тогда
Вероятность события X < 3: