Найти закон распределения случайного вектора (Х,У) (таблицу закона распределения для дискретного случайного вектора и

Найти закон распределения случайного вектора (Х,У) (таблицу закона распределения для дискретного случайного вектора и плотности распределения fXYx,y, fXx,fYy компонент Х и Y для непрерывного случайного вектора). Проверить зависимы или нет компоненты X, Y. Найти основные числовые характеристики случайного вектора: mx, my, Dx, σx, Dy, σy, Kxy, ρxy. Вычислить вероятность события X≥Y,. 7.1.09. Выбирают 2 раза с возвращением и без упорядочивания карточки, пронумерованные числами от 1 до 4. Случайная величина X- модуль разности номеров при первом и втором выборе. Случайная величина Y- остаток от деления суммы чисел в каждой паре на 3.

Т.к. карточки выбираются с возвращением и без упорядочивания, пространство элементарных исходов будет состоять из пар чисел:
Ω=1,1;1;2;1;3;1;4;2;2;2;3;2;4;3;3;3;4;4;4.
Вероятность появления пары одинаковых чисел p=116=0,0625.
Вероятность появления пары одинаковых чисел p=216=0,125.
Найдем вероятности возможных значений случайных величин Х и Y (используем теорему суммы вероятностей несовместных событий).
X- модуль разности номеров при первом и втором выборе:
X=0:1,1;2;2;3;3;4;4;PX=0=4∙0,0625=0,25
X=1:1;2;2;3;3;4;PX=1=3∙0,125=0,375
X=2:1;3;2;4;PX=2=2∙0,125=0,25
X=3:1;4;PX=3=2∙0,0625=0,125
Y- остаток от деления суммы чисел в каждой паре на 3
Y=0:1;2;2;4;3;3;PY=0=2∙0,125+0,0625=0,3125
Y=1:1;3;2;2;3;4;PY=1=2∙0,125+0,0625=0,3125
Y=2:1,1;1;4;2;3;4;4;PY=2=2∙0,0625+2∙0,125=0,375
Вероятности для случайного вектора:
X=0, Y=0:3;3; PX=0, Y=0=0,0625
X=0, Y=1:2;2; PX=0, Y=1=0,0625
X=0, Y=2:1,1;4;4; PX=0, Y=2=2∙0,0625=0,125
X=1, Y=0:1;2; PX=1, Y=0=0,125
X=1, Y=1:3;4; PX=1, Y=1=0,125
X=1, Y=2:2;3; PX=1, Y=2=0,125
X=2, Y=0:2;4; PX=2, Y=0=0,125
X=2, Y=1:1;3; PX=2, Y=1=0,125
X=2, Y=2:∅; PX=2, Y=2=0
X=3, Y=0:∅; PX=3, Y=0=0
X=3, Y=1:∅; PX=3, Y=1=0
X=3, Y=2:1;4; PX=3, Y=2=0,125
Таблица закона распределения для дискретного случайного вектора:
X
Y 0 1 2 3
0 0,0625 0,125 0,125 0
1 0,0625 0,125 0,125 0
2 0,125 0,125 0 0,125
Законы распределения компонент:
xj
0 1 2 3
pj
0,25 0,375 0,25 0,125
 yi  0 1 2
pi  0,3125 0,3125 0,375
Проверим зависимость компонент
Условие независимости Х и Y
PX=xj, Y=yi=PX=xj∙P Y=yi.
PX=0∙PY=0=0,25∙0,3125=0,078125≠PX=0, Y=0=0,0625⟹
случайные величины зависимы