Плоское течение жидкости задано следующим образом: Vx = a·y , Vy = 2·a·x . Определите функцию тока

Плоское течение жидкости задано следующим образом: Vx = a·y , Vy = 2·a·x . Определите функцию тока Ψ и изобразите картину течения (постройте линии тока). Так же определите относительные скорости деформации (εх , εy , θz) и определите завихренность потока. Является ли данное течение потенциальным ?

1. Компоненты вектора скорости выражаются через функцию тока ψ следующим образом
vx=∂ψ∂y, vy=-∂ψ∂x.
В случае заданного по условию поля скорости для функции тока имеем следующую систему уравнений
∂ψ∂x=-vy=-2·а·x ,∂ψ∂y=vx=а·y .
Интегрируем первое уравнение по x
ψx,y=(-2·а·x ) dx=-а·х2+fy .
Дифференцируем полученное выражение по y и подставляем во второе уравнение
∂ψ∂y=0+f'y=а·y , ⟹ f'y=a·y , ⟹ fy=a·y22+C .
ψ=- а·х2+a·y22+C .
Поскольку функция тока определяется с точностью до прибавления константы, возьмем C=0, тогда функции тока будет иметь вид
ψx,y=- а·х2+a·y22 .
Линиями тока будут изолинии функции тока
ψx,y=- а·х2+a·y22=const.
Уравнения линий тока можно записать в другом виде
у=± 2a·C+a·x2=± C1+2·x2.
Это уравнение параболы