Построить полигон частот. Найти оценку математического ожидания, несмещенную оценку дисперсии, точность оценки математического ожидания

Построить полигон частот. Найти оценку математического ожидания, несмещенную оценку дисперсии, точность оценки математического ожидания и доверительный интервал с надежностью 0,95, проверить гипотезу Н0: М(Х)=m при уровне значимости 0,05. m =13 Х 1 6 11 16 21 Частоты (ni) 6 11 32 36 15

Построим полигон частот
Построим полигон относительных частот.
Найдем объем выборки: n=ni=6+11+32+36+15=100
Х 1 6 11 16 21
Частоты (ni)
6 11 32 36 15
Относительные частоты (wi))
0,06 0,11 0,32 0,36 0,15
Относительные частоты нашли по формуле: wi=nin
Найдем оценку математического ожидания по формуле:
MX=х=1ni=1nxini=1∙6+6∙11+11∙32+16∙36+21∙15100=
=6+66+352+576+315100=1315100=13,15
Найдем несмещенную оценку дисперсии по формуле
s2=nn-11ni=1nxi2ni-х2=
=100100-1∙12∙6+62∙11+112∙32+162∙36+212∙15100-13,152=
=10099∙6+396+3872+9216+6615100-172,9225=
=10099∙201,05-17,9225=10099∙28,1275=28,41
Точность оценки рассчитывается по формуле δ=tγsn, где tγ – коэффициент доверия . Этот коэффициент найдем из соотношения Фtγ=γ2, а Фt – функция Лапласа.
По условию γ=0,95, то Фtγ=γ2=0,952=0,475. По таблице значений функции Лапласа находим tγ=1,96. А так же учитываем, что s=s2=28,41≈5,33, x=13,15 и n=100
Таким образом точность оценки
δ=tγsn≈1,96∙5,33100=1,04
Доверительный интервал для математического ожидания при известной дисперсии находим по формуле:
x-δ<а<x+δ
Тогда
13,15-1,04<а<13,15+1,04
12,11<а<14,19
Проверим гипотезу Н0: М(Х)=13 при уровне значимости 0,05.
Вычисляем наблюдаемое значение критерия
Tнабл=x-aSn
где a=М(Х)=13
Тогда
Tнабл=13,15-135,33∙100=0,155,33∙10=0,28
Конкурирующая гипотеза имеет вид Н1: М(Х)≠13, а значит, речь идёт о двусторонней критической области

. Этот коэффициент найдем из соотношения Фtγ=γ2, а Фt – функция Лапласа.
По условию γ=0,95, то Фtγ=γ2=0,952=0,475. По таблице значений функции Лапласа находим tγ=1,96. А так же учитываем, что s=s2=28,41≈5,33, x=13,15 и n=100
Таким образом точность оценки
δ=tγsn≈1,96∙5,33100=1,04
Доверительный интервал для математического ожидания при известной дисперсии находим по формуле:
x-δ<а<x+δ
Тогда
13,15-1,04<а<13,15+1,04
12,11<а<14,19
Проверим гипотезу Н0: М(Х)=13 при уровне значимости 0,05.
Вычисляем наблюдаемое значение критерия
Tнабл=x-aSn
где a=М(Х)=13
Тогда
Tнабл=13,15-135,33∙100=0,155,33∙10=0,28
Конкурирующая гипотеза имеет вид Н1: М(Х)≠13, а значит, речь идёт о двусторонней критической области