Приближенное решение скалярного уравнения. Методом Ньютона или хорд найти корень уравнения x3+2x2-13x-5+S=0 с точностью ↋

Приближенное решение скалярного уравнения. Методом Ньютона или хорд найти корень уравнения x3+2x2-13x-5+S=0 с точностью ↋ = 10-3. S = (N + 1), где N – значение последней цифры зачетки.

S = (N + 1) = 1 + 1 = 2;
x3+2x2-13x-5+2=0;
x3+2x2-13x-3=0.
Находим интервал изоляции корня. Он расположен на отрезке [0;3].
Выберем интервал 0;3. Проверка: f0=-3; f3=3. Так как
f0∙f3<0, то есть значения функции на концах промежутка имеют противоположные знаки, значит корень находится в интервале 0;3.
1) Найдем первую производную:
dfdx=3x2+4x-13
Найдем вторую производную:
d2fdx2=6x+4
Вычислим значения производных в точке a=0:
f'a=-13
f"a=4
2) Поскольку f'a*f"a<0,то x0=b=3 – начальное приближение
3) Проводим расчёты по формуле методом Ньютона и результаты заносим в таблицу.
Метод Ньютона:
Формула - xi+1=xi-f(xi)f'(xi)
Метод Ньютона – это итерационный численный метод нахождения корня заданной функции . Чтобы численно решить уравнение f(x)=0 методом простой итерации, его необходимо привести к эквивалентному уравнению: x= φ(x)
Для наилучшей сходимости метода в точке очередного приближения x должно выполнятся условие Решение данного уравнения ищут в виде φ'x=x+axf(x) тогда:
φ'x-1+a'xfx+axf'x=0
В предположении, что точка приближения «достаточно близка» к корню x, и что заданная функция непрерывна, fx≈fx=0 окончательная формула для а(х) такова:
ax=-1f'(x)
С учетом этого функция определяется:
φx=x-f(x)f'(x)
а) Задаем нулевое приближение: x0=3, вычисляем значения функции:
fx=3 f'3=3*33+4*3-13
f'3=26
б) Затем находим отношение f3f'3=0,115385 и вычисляем очередное значение:
x1=3-626=3-0,115385=2,8846153846;
x2=2,8846153846-0,14491423,50148=2,8784492401;
n
x
fx
f'x
f(x)f'(x)
1 3 3 26 0,115385
2 2,8846153846 0,144914 23,50148 0,006166
3 2,8784492401 0,000405
в) На третьей итерации значение f(x) меньше заданной точности, поэтому дальнейшие расчёты не проводим.
Ответ: 2,8784

. Чтобы численно решить уравнение f(x)=0 методом простой итерации, его необходимо привести к эквивалентному уравнению: x= φ(x)
Для наилучшей сходимости метода в точке очередного приближения x должно выполнятся условие Решение данного уравнения ищут в виде φ'x=x+axf(x) тогда:
φ'x-1+a'xfx+axf'x=0
В предположении, что точка приближения «достаточно близка» к корню x, и что заданная функция непрерывна, fx≈fx=0 окончательная формула для а(х) такова:
ax=-1f'(x)
С учетом этого функция определяется:
φx=x-f(x)f'(x)
а) Задаем нулевое приближение: x0=3, вычисляем значения функции:
fx=3 f'3=3*33+4*3-13
f'3=26
б) Затем находим отношение f3f'3=0,115385 и вычисляем очередное значение:
x1=3-626=3-0,115385=2,8846153846;
x2=2,8846153846-0,14491423,50148=2,8784492401;
n
x
fx
f'x
f(x)f'(x)
1 3 3 26 0,115385
2 2,8846153846 0,144914 23,50148 0,006166
3 2,8784492401 0,000405
в) На третьей итерации значение f(x) меньше заданной точности, поэтому дальнейшие расчёты не проводим.
Ответ: 2,8784