Произведено n независимых выстрелов по мишени с вероятностью попадания p. Пусть случайная величина ξ

Произведено n независимых выстрелов по мишени с вероятностью попадания p. Пусть случайная величина ξ - число попаданий в цель. Для случайной величины ξ найти: а) распределение вероятностей; б) функцию распределения и построить ее график; в) вероятность попадания случайной величины ξ в интервал (α;β) ; г) математическое ожидание, дисперсию и среднеквадратическое отклонение. n = 5, p = 0,2, = -1, β = 0,5

А) Случайная величина ξ может принимать значения от 0 до 5. Найдём вероятности каждого из этих значений по формуле Бернулли:

p = 0,2, q =10,2=0,8 , n = 5 – общее количество выстрелов, k = 0,1,…,5 – число попаданий.
Составляем таблицу (биномиальний закон распределения), записывая значения хі = k, которые может принимать дискpетная случайная величина , а также вероятности pі = Р5(xі) = Р5(k).
хі 0 1 2 3 4 5
pі 0,3277 0,4096 0,2048 0,0512 0,0064 0,0003
Проверка: сумма всех вероятностей должна быть равна 1:
0,3277 + 0,4096 + 0,2048 + 0,0512 + 0,0064 + 0,0003 = 1.

По данным таблицы строим многокутник распределения, то есть наносим на график точки :
б) Найдем функцию распределения и её график.
Функция распределения вероятностей:
;
;
;
;
Тогда
в) найдем вероятность Р(-1 х 0,5):
.
г) По данным таблицы находим математическое ожидание и диспеpсию:
0·0,3277+1·0,4096+2·0,2048+3∙0,0512+4·0,0064+5∙0,0003 = 1.
= 02 · 0,3277 + 12 · 0,4096 + 22 · 0,2048 + 32 ∙ 0,0512 +
+ 42 · 0,0064 + 52 ∙ 0,0003 – 12 = 0,8.
Среднее квадратичное отклонение – это корень квадратный из дисперсии: