Производственная функция описывается формулой Q = 2KL. Плата за использование единицы капитала равна 50

Производственная функция описывается формулой Q = 2KL. Плата за использование единицы капитала равна 50 долларов в месяц, зарплата составляет 100 долларов в месяц за единицу труда. Каков минимальный объём издержек, необходимый для выпуска 20 единиц продукции? Какова при этих условиях оптимальная комбинация используемых ресурсов?

Фирма оптимизирует производство при выполнении условия:
MPL/w = MPK/r,
где MPL, MPK – предельные продукты труда и капитала соответственно, w, r – цены труда и капитала соответственно.
Определим предельные продукты труда и капитала:
MPL = dQ/dL = d(2KL)/dL = 2K,
MPK = dQ/dK = d(2KL)/dK = 2L.
Подставим эти выражения и значения w=100 и r=50 в условие оптимума и определим оптимальное соотношение труда и капитала:
2К/100 = 2L/50
K = 2L
Минимальные издержки при этом будут равны:
TC = wL + rK = 100L + 50*2L = 200L.
Определим объемы труда и капитала, необходимые для производства Q=20:
Q = 2KL = 20
2*2L*L = 20
L2 = 5
L = √5.
K = 2L = 2√5.
Издержки при этом будут равны:
TC = 200L = 200√5.
Таким образом, оптимальная комбинация ресурсов для производства 20 единиц продукции L = √5, K = 2√5