Работа динамической системы описывается уравнением: dξdt+6ξt=dηdt+2ηt На вход системы поступает стационарный процесс ξt с корреляционной функцией:

Работа динамической системы описывается уравнением: dξdt+6ξt=dηdt+2ηt На вход системы поступает стационарный процесс ξt с корреляционной функцией: Kτ=3e-3τ+9e-6τ Найти дисперсию процесса на выходе системы.

Предварительно найдем спектральную плотность процесса ξt по формуле:
sxω=1π0∞kxτcosωτdτ
Т.к. τ=τпри τ≥0то:
sξω=3π0∞e-3τcosωτdτ+9π0∞e-6τcosωτdτ
Вычислим интегралы отдельно:
0∞e-3τcosωτdτ=e-3τωsinωτ-3cosωτ32+ω20∞=
=19+ω2limM→∞e-3MωsinωM-3cosωM=0+3=39+ω2
Аналогично:
0∞e-6τcosωτdτ=636+ω2
Т.е. спектральная плотность процесса на входе в систему:
sξω=9π9+ω2+54π36+ω2
Далее находим передаточную функцию системы, записывая дифференциальное уравнение в операторной форме:pξ+6ξ=pη+2η
Т.е.:
η=p+6p+2ξ
Таким образом, передаточная функция системы:
Wp=p+6p+2
Соответствующая частотная характеристика p=ωi:
Wωi=ωi+6ωi+2
Определяем спектральную плотность на выходе системы:
sηω=sξω∙Wωi2=9π9+ω2+54π36+ω2∙ωi+62ωi+22=
=9π9+ω2+54π36+ω2∙36+ω24+ω2=54π4+ω2+936+ω2π4+ω29+ω2
И находим дисперсию на выходе системы:
Dη=-∞∞sηωdω=54π-∞∞dω4+ω2+9π-∞∞36+ω2dω4+ω29+ω2
Подынтегральное выражение представляем суммой дробей:
A4+ω2+B9+ω2=A9+ω2+B4+ω24+ω29+ω2=(A+B)ω2+9A+4B4+ω29+ω2
Числитель должен равняться 36+ω2, приравниваем коэффициенты:
A+B=19A+4B=36A=325B=-275
Тогда:
Dη=54π-∞∞dω4+ω2dω+95π-∞∞324+ω2-279+ω2dω=
=27πlimM→∞arctgω2-MM+95πlimM→∞16arctgω2-MM-9arctgω3-MM=
=27π∙π+95π16π-9π=39,6