Работа динамической системы описывается уравнением: dξdt+ξt=dηdt+3ηt На вход системы поступает стационарный процесс ξt с корреляционной функцией:

Работа динамической системы описывается уравнением: dξdt+ξt=dηdt+3ηt На вход системы поступает стационарный процесс ξt с корреляционной функцией: Kτ=2e-τ+4e-2τ Найти дисперсию процесса на выходе системы.

Предварительно найдем спектральную плотность процесса ξt по формуле:
sxω=1π0∞kxτcosωτdτ
Т.к. τ=τ при τ≥0 то:
sξω=2π0∞e-τcosωτdτ+4π0∞e-2τcosωτdτ
Вычислим интегралы отдельно:
0∞e-τcosωτdτ=e-τωsinωτ-cosωτ1+ω20∞=
=11+ω2limM→∞e-MωsinωM-cosωM=0+1=11+ω2
Аналогично:
0∞e-2τcosωτdτ=24+ω2
Т.е.:
sξω=2π1+ω2+8π4+ω2
Далее находим передаточную функцию системы, записывая дифференциальное уравнение в операторной форме: pξ+ξ=pη+3η
Т.е.:
η=p+1p+3ξ
Таким образом, передаточная функция системы:
Wp=p+1p+3
Откуда получаем частотную характеристику системы p=ωi:
Wωi=ωi+1ωi+3
И находим спектральную плотность на выходе системы:
sηω=sξω∙Wωi2=2π1+ω2+8π4+ω2∙ωi+12ωi+32=
=2π9+ω2+81+ω2π4+ω29+ω2
И дисперсия на выходе системы:
Dη=-∞∞sηωdω=2π-∞∞19+ω2dω+8π-∞∞1+ω24+ω29+ω2dω
Подынтегральное выражение представляем суммой дробей:
A4+ω2+B9+ω2=A9+ω2+B4+ω24+ω29+ω2=(A+B)ω2+9A+4B4+ω29+ω2
Числитель должен равняться 1+ω2, приравниваем коэффициенты:
A+B=19A+4B=1 A=-35B=85
Тогда:
Dη=2π-∞∞19+ω2dω+8π-∞∞-354+ω2+859+ω2dω=
=2πlimM→∞13arctgω3-MM+8πlimM→∞-310arctgω2-MM+815arctgω3-MM=
=2π∙π3+8π-3π10+8π15=3815