Работа динамической системы описывается уравнением: dξdt+4ξt=dηdt+9ηt На вход системы поступает стационарный процесс ξt с корреляционной функцией:Kτ=e-2τ+e-4τ Найти

Работа динамической системы описывается уравнением: dξdt+4ξt=dηdt+9ηt На вход системы поступает стационарный процесс ξt с корреляционной функцией:Kτ=e-2τ+e-4τ Найти дисперсию процесса на выходе системы.

Предварительно найдем спектральную плотность процесса ξt по формуле:
sxω=1π0∞kxτcosωτdτ
Т.к. τ=τ при τ≥0 то:
sξω=1π0∞e-2τcosωτdτ+1π0∞e-4τcosωτdτ
Имеем:
0∞e-2τcosωτdτ=e-2τωsinωτ-2cosωτ22+ω20∞=
=14+ω2limM→∞e-2MωsinωM-2cosωM=0+2=24+ω2
Аналогично:
0∞e-4τcosωτdτ=416+ω2
Т.е.:
sξω=2π4+ω2+4π16+ω2
Находим передаточную функцию системы, записывая дифференциальное уравнение в операторной форме:pξ+4ξ=pη+9η
Имеем:
η=p+4p+9ξ
Таким образом, передаточная функция системы:
Wp=p+4p+9
Далее получаем частотную характеристику системы p=ωi:
Wωi=ωi+4ωi+9
И находим спектральную плотность на выходе системы:
sηω=sξω∙Wωi2=2π4+ω2+4π16+ω2∙ωi+42ωi+92=
=2π4+ω2+4π16+ω2∙16+ω281+ω2=4π81+ω2+216+ω2π4+ω281+ω2
Находим дисперсию на выходе системы:
Dη=-∞∞sηωdω=4π-∞∞dω81+ω2+2π-∞∞16+ω24+ω281+ω2dω
Подынтегральное выражение во втором интеграле представляем суммой:
A4+ω2+B81+ω2=A81+ω2+B4+ω24+ω281+ω2=(A+B)ω2+81A+4B4+ω281+ω2
Числитель должен равняться 16+ω2, приравниваем коэффициенты:
A+B=181A+4B=16 A=1277B=6577
Тогда:
Dη=4π-∞∞dω81+ω2+277π-∞∞124+ω2+6581+ω2dω=
=49πlimM→∞arctgω9-MM+277πlimM→∞6arctgω2-MM+659arctgω9-MM=
=49π∙π+277π6π+65π9=2633