Работа динамической системы описывается уравнением: dξdt+3ξt=dηdt+2ηt На вход системы поступает стационарный процесс ξt с корреляционной функцией:

Работа динамической системы описывается уравнением: dξdt+3ξt=dηdt+2ηt На вход системы поступает стационарный процесс ξt с корреляционной функцией: Kτ=3e-3τ+9e-6τ Найти дисперсию процесса на выходе системы.

Предварительно найдем спектральную плотность процесса ξt по формуле:
sxω=1π0∞kxτcosωτdτ
Т.к. τ=τ при τ≥0 то:
sξω=3π0∞e-3τcosωτdτ+9π0∞e-6τcosωτdτ
Вычислим интегралы отдельно:
0∞e-3τcosωτdτ=e-3τωsinωτ-3cosωτ32+ω20∞=
=19+ω2limM→∞e-3MωsinωM-3cosωM=0+3=39+ω2
Аналогично:
0∞e-6τcosωτdτ=636+ω2
Т.е. спектральная плотность процесса на входе в систему:
sξω=3π∙39+ω2+9π∙636+ω2=9π9+ω2+54π36+ω2
Далее находим передаточную функцию системы, записывая дифференциальное уравнение в операторной форме:pξ+3ξ=pη+2η
Т.е.:
η=p+3p+2ξ
Таким образом, передаточная функция системы:
Wp=p+3p+2
Соответствующая частотная характеристика p=ωi:
Wωi=ωi+3ωi+2
Определяем спектральную плотность на выходе системы:
sηω=sξω∙Wωi2=9π9+ω2+54π36+ω2∙ωi+32ωi+22=
=9π9+ω2+54π36+ω2∙9+ω24+ω2=9π4+ω2+549+ω2π4+ω236+ω2
И находим дисперсию на выходе системы:
Dη=-∞∞sηωdω=9π-∞∞dω4+ω2+54π-∞∞9+ω2dω4+ω236+ω2
Подынтегральное выражение во втором интеграле представляем суммой дробей вида:
A4+ω2+B36+ω2=A36+ω2+B4+ω24+ω236+ω2=(A+B)ω2+36A+4B4+ω236+ω2
Числитель должен равняться 9+ω2, приравниваем коэффициенты:
A+B=136A+4B=9 A=532B=2732
Тогда:
Dη=9π-∞∞dω4+ω2dω+5432π-∞∞54+ω2+2736+ω2dω=
=92πlimM→∞arctgω2-MM+2716πlimM→∞52arctgω2-MM+92arctgω6-MM=
=92π∙π+2716π52π+92π=26116≈16,3