Работа динамической системы описывается уравнением: dξdt+ξt=dηdt+4ηt На вход системы поступает стационарный процесс ξt с корреляционной функцией:Kτ=3e-τ+9e-2τ Найти

Работа динамической системы описывается уравнением: dξdt+ξt=dηdt+4ηt На вход системы поступает стационарный процесс ξt с корреляционной функцией:Kτ=3e-τ+9e-2τ Найти дисперсию процесса на выходе системы.

Предварительно найдем спектральную плотность процесса ξt по формуле:
sxω=1π0∞kxτcosωτdτ
Т.к. τ=τпри τ≥0то:
sξω=3π0∞e-τcosωτdτ+9π0∞e-2τcosωτdτ
Вычислим интегралы отдельно:
0∞e-τcosωτdτ=e-τωsinωτ-cosωτ1+ω20∞=
=11+ω2limM→∞e-MωsinωM-cosωM=0+1=11+ω2
Аналогично:
0∞e-2τcosωτdτ=24+ω2
Т.е.:
sξω=3π1+ω2+18π4+ω2
Далее находим передаточную функцию системы, записывая дифференциальное уравнение в операторной форме:pξ+ξ=pη+4η
Т.е.:
η=p+1p+4ξ
Таким образом, передаточная функция системы:
Wp=p+1p+4
Откуда получаем частотную характеристику системы p=ωi:
Wωi=ωi+1ωi+4
И находим спектральную плотность на выходе системы:
sηω=sξω∙Wωi2=3π1+ω2+18π4+ω2∙ωi+12ωi+42=
=3π16+ω2+181+ω2π4+ω216+ω2
И дисперсия на выходе системы:
Dη=-∞∞sηωdω=3π-∞∞116+ω2dω+18π-∞∞1+ω24+ω216+ω2dω
Подынтегральное выражение представляем суммой дробей:
A4+ω2+B16+ω2=A16+ω2+B4+ω24+ω216+ω2=(A+B)ω2+16A+4B4+ω216+ω2
Числитель должен равняться 1+ω2, приравниваем коэффициенты:
A+B=116A+4B=1 A=-14B=54
Тогда:
Dη=3π-∞∞116+ω2dω+18π-∞∞-144+ω2+5416+ω2dω=
=34πlimM→∞arctgω4-MM+18πlimM→∞-34arctgω2-MM+516arctgω4-MM=
=34π∙π+18π-3π4+5π16=338