Расчёт системы с учётом перепада температур Первый стержень стальной, второй медный. Площадь поперечного сечения А1

Расчёт системы с учётом перепада температур Первый стержень стальной, второй медный. Площадь поперечного сечения А1 = А2 =0,015 м2. Система после сборки получила отрицательный перепад температуры Δt = -50°С. Модули упругости Ес = 2۰105 МПа, Ем = 105 МПа, коэффициенты линейного расширения αс= 125-10-7 град-1, αм= 160-10-7 град-1. Дано: а = 1м, А1 = А1 =0,015 м2 , Δt = -50°С; Ес = 2-105 МПа, Ем = 105 МПа, αс= 125۰10-7 град-1, αм= 160۰10-7 град-1. Определить: 1 и 2.

Из рисунка 1.5 имеем следующее соотношение l2 / l1 = sin30°=0.5, при l2 = 1,5 м получаем l1 = 3 м.
Рисунок 1.5 – Расчётная схема
По определению:
σ1=NCA1;
σ2=NMA2;
где NС - внутренняя сила в стальном стержне;
NМ - внутренняя сила в медном стержне;
AС и AМ - площади поперечных сечений соответственно стального и медного стержней.
Уравнения равновесия моментов относительно точки А:
ΣMA=0; NC∙6a∙sin30°+NM∙7a=0;
(1.7)
NC=-73NM;
(1.7а)
Представим систему в деформированном виде (рисунок 1.6) . При охлаждении на 50°С стальной стрежень укоротился бы па величину ΔlC , если бы ему не препятствовал медный стержень, а медный стержень укоротился бы на величину ΔlМ , если бы ему не мешал стальной стержень. Так как направления деформаций стержней совпадают, то брус в конечном итоге переместится вверх, как показано па рисунке 1.6. И деформации стального и медного и стержней будут иметь меньшие значения на величины ΔCN. и ΔMN. соответственно, следовательно, оба стержня работают па сжатие.
Рисунок 1.6 – Система в деформированном виде вследствие совместного сжатия стержней.
Теперь рассмотрим подобные треугольники ACC1 и ABB1 откуда:
CC1BB1=6a7a=67
или 7۰CC1=6۰BB1
(1.8)
Из рисунка 1.6 видно, что
CC1=ΔlCcos60°
и BB1=ΔlM
, тогда, подставляя эти значения в (1.8),
получим уравнение совместности деформаций:

7ΔlCcos60°=6∙∆lM
или 14۰ΔlC=6∙∆lM
(1.9)
Так как оба стержня работают на сжатие, то силовая деформация берётся со знаком « - », тогда lM=∆lMt-∆lMN и lC=∆lCt-∆lCN .
По определению
∆lMt=∝M∙lM∙∆t
и ∆lCt=∝C∙lC∙∆t

. При охлаждении на 50°С стальной стрежень укоротился бы па величину ΔlC , если бы ему не препятствовал медный стержень, а медный стержень укоротился бы на величину ΔlМ , если бы ему не мешал стальной стержень. Так как направления деформаций стержней совпадают, то брус в конечном итоге переместится вверх, как показано па рисунке 1.6. И деформации стального и медного и стержней будут иметь меньшие значения на величины ΔCN. и ΔMN. соответственно, следовательно, оба стержня работают па сжатие.
Рисунок 1.6 – Система в деформированном виде вследствие совместного сжатия стержней.
Теперь рассмотрим подобные треугольники ACC1 и ABB1 откуда:
CC1BB1=6a7a=67
или 7۰CC1=6۰BB1
(1.8)
Из рисунка 1.6 видно, что
CC1=ΔlCcos60°
и BB1=ΔlM
, тогда, подставляя эти значения в (1.8),
получим уравнение совместности деформаций:

7ΔlCcos60°=6∙∆lM
или 14۰ΔlC=6∙∆lM
(1.9)
Так как оба стержня работают на сжатие, то силовая деформация берётся со знаком « - », тогда lM=∆lMt-∆lMN и lC=∆lCt-∆lCN .
По определению
∆lMt=∝M∙lM∙∆t
и ∆lCt=∝C∙lC∙∆t