Расчёт ступенчатого бруса. Дано: P=10 кН; E=2∙105 МПа; l=0,5 м; σ=200 МПа. Требуется: 1. Подобрать

Расчёт ступенчатого бруса. Дано: P=10 кН; E=2∙105 МПа; l=0,5 м; σ=200 МПа. Требуется: 1. Подобрать из условия прочности на растяжение-сжатие площадь поперечного сечения участков бруса [F]. 2. Найти перемещения участков стержня ∆l.

1. Построение эпюры внутренних продольных сил N.
Реакция N определяется из условия равновесия: сумма всех сил zi, действующих по оси z, равна нулю:
i=1nzi=0.
Разобьём брус на два участка, начиная с верхнего конца: AB и BD (рисунок 1, а).
Используя метод сечений, рассечем брус на участках сечениями 1-1 и 2-2 и рассмотрим условия равновесия каждой отсечённой части в отдельности, начиная со свободного конца бруса (рисунок 1, а).
Участок BD (0≤z≤2l=1 м):
∑z=0; N1+3P=0; => N1=-3P=-3∙10=-30 кН.
Участок AB (0≤z≤l=0,5 м):
∑x2=0; N1+3P-P=0; => N2=P-3P=-2P=-2∙10=-20 кН.
Строим эпюру продольных сил (рисунок 1, б).
2

. Подбор площадей поперечного сечения участков бруса.
Подбор площади сечения производим из условия:
σ=NF≤σ; => F≥Nσ
Участок BD (0≤z≤2l=1 м):
F1≥N1σ=-30∙103200∙106=0,15∙10-3 м2=1,5∙10-4 м2=1,5 см2.
F1=2F=1,5 см2;
F=1,52=0,75 см2.
Участок AB (0≤z≤l=0,5 м):
F2≥N2σ=-20∙103200∙106=0,1∙10-3 м2=1∙10-4 м2=1 см2.
F2=3F=1 см2;
F=13=0,33 см2.
Из двух полученных площадей выбираем большую площадь:
F=0,75 см2.
Рисунок 1
3. Построение эпюры нормальных напряжений σ.
Нормальные напряжения на участках бруса определяются по формуле:
σi=NiFi ,
где: Ni – продольное усилие, возникающее на -том участке стержня;
Fi – площадь -того участка стержня.
Вычисляем ординаты эпюр нормальных напряжений (рисунок 1, в).
Участок BD.
σ1=N1F1=N12F=-30∙1032∙0,75∙10-4=-200∙106 Па=-200 МПа.
Участок AB.
σ2=N2F2=N23F=-20∙1033∙0,75∙10-4=-88,9∙106 Па=-88,9 МПа.
Эпюра нормальных напряжений представлена на рисунке 1, в.
3