Решить простейшую вариационную задачу Jy=01x3+y22+2y'2dx,y0=0,y1=2

Решить простейшую вариационную задачу Jy=01x3+y22+2y'2dx,y0=0,y1=2

Имеем:
Fx,y,y'=x3+y22+2y'2
∂F∂y=y
∂F∂y'=4y'
Тогда:
ddx∂F∂y'=4y''
Записываем уравнение Эйлера:
∂F∂y-ddx∂F∂y'=0
y-4y''=0
Записываем и решаем соответствующее характеристическое уравнение:
1-4k2=0 k=±12
Получили семейство экстремалей:
y=c1ex2+c2e-x2
Подставляя начальные условия y0=0,y1=2, имеем:
0=c1+c22=c1e12+c2e-12
Выражая из первого: c2=-c1
И подставляя во второе:
2=c1e12-e-12
c1=2e12-e-12=1sh12
c2=-c1=-1sh12
Получили допустимую экстремаль:
y=ex2-e-x2sh12
Или:
y=2shx2sh12
Для всякой функции ηx∈C1[0;1], такой что η0=η1=0, имеем:
∆J=Jy+η-Jy=
=01x3+y+η22+2y'+η'2-x3+y22+2y'2dx=
=01yη+η22+4y'η'+2η'2dx
С учетом того, что η0=η1=0, имеем:
014y'η'dx=dv=η'dxv=ηu=4y'du=4y''dx=4y'η01=0-014y''ηdx
Тогда:
∆J=01yη+η22-4y''η+2η'2dx=01η(y-4y'')=0, наше ур-ниеЭйлераdx+01η22dx≥0+012η'2dx≥0≥0
Это означает, что экстремаль y=2shx2sh12 дает абсолютный минимум.