Решить разностное уравнение второго порядка. xn+2+20xn+1+75xn=480n+1550; x0=35; x1=-130. Частное решение находится двумя способами: а) методом неопределенных коэффициентов. б)

Решить разностное уравнение второго порядка. xn+2+20xn+1+75xn=480n+1550; x0=35; x1=-130. Частное решение находится двумя способами: а) методом неопределенных коэффициентов. б) методом Лагранжа.

Дано линейное неоднородное разностное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами.
xn+2+20xn+1+75xn=480n+1550
Составим характеристическое уравнение и решим его
λ2+20λ+75=0
D=202-4∙75=400-300=100; λ1,2=-20±1002
λ1=-15 и λ2=-5
Получаем общее решение однородного уравнения
xn0=C1∙-15n+C2∙-5n
Частное решение найдем методом неопределенных коэффициентов в виде
xn1=A∙n+B
Подставляем xn в уравнение
An+2+B+20An+1+B+75An+B=480n+1550
An+2+B+20An+1+20B+75An+75B=480n+1550
An+2A+B+20An+20A+20B+75An+75B=480n+1550
A+20A+75An+2A+B+20A+20B+75B=480n+1550
96A∙n+22A+96B=480n+1550
Следовательно, имеем
96A=48022A+96B=1550A=5B=15
и получаем частное решение
xn1=5n+15
Следовательно, общее решение неоднородного уравнения примет вид
xn=xn0+xn1
xn=C1∙-15n+C2∙-5n+5n+15
Теперь для нахождения частного решения воспользуемся методом Лагранжа.
Имеем xn0=C1∙-15n+C2∙-5n
Будем считать, что C – это функция, зависящая от n.
Тогда общим решением заданного уравнения является выражение
xn=C1n∙-15n+C2n∙-5n
Для определения функций C1n и C2n имеем систему уравнений:
∆C1n∙-15n+1+∆C2n∙-5n+1=0∆C1n∙-15n+2+∆C2n∙-5n+2=480n+1550
Выразим из первого уравнения ∆C2n через ∆C1n.
∆C2n=-∆C1n∙-15n+1-5n+1
Тогда получим
∆C1n∙-15n+2+∆C2n∙-5n+2=480n+1550
∆C1n∙-15n+2-∆C1n∙-15n+1-5n+1∙-5n+2=480n+1550
∆C1n∙-15n+2+5∆C1n∙-15n+1=480n+1550
-15∙∆C1n∙-15n+1+5∙∆C1n∙-15n+1=480n+1550
-10∙∆C1n∙-15n+1=480n+1550
∆C1n=480n+1550-10∙-15n+1=480n+1550-10∙-15∙1-15n=48n+15515∙1-15n
Теперь, зная ∆C1n, найдем ∆C2n:
∆C2n=-480n+1550-10∙-15n+1∙-15n+1-5n+1=480n+155010∙-5∙1-5n=48n+155-5∙1-5n
Далее находим C1n и C2n:
C1n=C10+k=0n-1480k+1550∙1-15k
C2n=C20+1-5∙10k=0n-1480k+1550∙1-5k
Рассмотрим числовые последовательности в общем виде
k=0n-1480k+1550∙ak=a=1-15 или a=1-5=480k=0n-1k∙ak2+1550k=0n-1ak1
1→k=0n-1ak=1-an1-a=1-an1-a1-a2=1-a-an+an+11-a2
2→k=0n-1k∙ak=1-ak+1a1-ak-10n-1a1-ak=0n-11-ak+1=1-an+1a1-an-1+
+1a-na1-a+11-ak=0n-1ak=n-1-nan+1+an+1a1-a+1a-na1-a+1-an1-a2=
=nan+1-an+1-nan+a1-a2
k=0n-1480k+1550ak=480nan+1-an+1-nan+a1-a2+15501-a-an+an+11-a2=
=480n+1070an+1-480n+1550an-1070a+15501-a2
Теперь вернёмся к C1n, то есть имеем
C1n=C10+k=0n-1480k+1550∙1-15k=
C1n=C10+480n+1070a1n+1-480n+1550a1n-1070a1+1550-10∙-15∙1-a12
Пример C10=1070a1-1550-10∙-15∙1-a12, тогда
C1n=48n+107a1n+1-48n+155a1n15∙1-a12
Теперь вернёмся к C2n, то есть имеем при C20=1070a2-1550-5∙10∙1-a22
C2n=C20+1-5∙10k=0n-1480k+1550∙1-5k
C2n=1070a2-1550-5∙101-a22+480n+1070a2n+1-480n+1550a2n-1070a2+1550-5∙101-a22
C2n=48n+107a2n+1-48n+155a2n-5∙1-a22
Далее учитывая, что a1=1-15 и a2=1-5, тогда a1n=-15-n и a2n=-5-n