Решить систему дифференциальных уравнений: -2x''+7x+3y'=75sin4t4x''+5x+5y'=sin4t;x0=0,x'0=4,y0=-3,y'0=0

Решить систему дифференциальных уравнений: -2x''+7x+3y'=75sin4t4x''+5x+5y'=sin4t;x0=0,x'0=4,y0=-3,y'0=0

Применяем преобразование Лапласа:
x Xp
x' pXp-x0=pXp
x'' ppXp-x0-x'0=p2Xp-4
y Yp
y' pYp+3
sin4t 4p2+16
И получаем систему операторных уравнений:
-2p2Xp-4+7Xp+3pYp+3=300p2+164p2Xp-4+5Xp+5pYp+3=4p2+16
-2p2+7Xp+3pYp=300p2+16-174p2+5Xp+5pYp=4p2+16+1
Вычтя из первого второе уравнение, умноженное на 35, получим:
-225p2+4Xp=14885p2+16-885
-22p2+20Xp=-88p2+80p2+16
Xp=4p2+16
Просуммировав же второе уравнение с удвоенным первым, получаем:
19Xp+11pYp=604p2+16-33
11pYp=604p2+16-33-19∙4p2+16
11pYp=-33p2p2+16
Yp=-3pp2+16
Восстанавливаем оригиналы и получаем решение задачи Коши:
xt=sin4tyt=-3cos4t