Решить систему линейных однородных дифференциальных уравнений. x'(t) = 2 x(t) – 3 y(t) y’(t) =

Решить систему линейных однородных дифференциальных уравнений. x'(t) = 2 x(t) – 3 y(t) y’(t) = 3 x(t) + 2 y(t)

Находим корни характеристического уравнения
2-λ-332-λ=0, λ2 – 4 λ + 13 = 0, λ1,2 = 2 ± 3i.
Найдем комплексное решение данной системы уравнений, соотве-ствующее корню λ1, = 2 - 3i. x = α eλ1t, y = β eλ1t. Числа α и β определяем
из уравнений (2 – λ1)α – 3 β = 0, 3 i α – 3 β = 0 . Одно из решений α = i, β = -1.
Поэтому
x = i e(2 – 3i)t, y = - e(2 – 3i)t
- комплексное решение исходной системы уравнений, которое запишем в
виде
x = i e2t (cos 3 t – i sin 3 t) = e2t (sin 3t + i cos 3t),
y = e2t (- cos 3t + i sin 3t)
Известно, что действительная и мнимая части полученного решения
по отдельности представляют собой решение заданных уравнений.
Таким образом, имеем два действительных решения исходной
системы.
x1(t) = e2t sin 3t, y1(t) = - e2t cos 3t
x2(t) = e2t cos 3t, y2(t) = e2t sin 3t.
Общее решение исходной системы
x = e2t (C1 sin 3t + C2 cos 3t),
y = e2t (-C1 cos 3t + C2 sin 3t).

. Одно из решений α = i, β = -1.
Поэтому
x = i e(2 – 3i)t, y = - e(2 – 3i)t
- комплексное решение исходной системы уравнений, которое запишем в
виде
x = i e2t (cos 3 t – i sin 3 t) = e2t (sin 3t + i cos 3t),
y = e2t (- cos 3t + i sin 3t)
Известно, что действительная и мнимая части полученного решения
по отдельности представляют собой решение заданных уравнений.
Таким образом, имеем два действительных решения исходной
системы.
x1(t) = e2t sin 3t, y1(t) = - e2t cos 3t
x2(t) = e2t cos 3t, y2(t) = e2t sin 3t.
Общее решение исходной системы
x = e2t (C1 sin 3t + C2 cos 3t),
y = e2t (-C1 cos 3t + C2 sin 3t).