Решить систему линейных однородных дифференциальных уравнений. x'(t) = - y(t) – 2 z(t) y’(t) = 2

Решить систему линейных однородных дифференциальных уравнений. x'(t) = - y(t) – 2 z(t) y’(t) = 2 x(t) + 3 y(t) + 2 z(t) z’(t) = - 3 x(t) – 3 y(t) – z (t).

Ищем решение в виде x = α eλt, y = β eλt, z = γ eλt. Для определения
α, β, γ, λ имеем систему уравнений
-λα-β-2γ=02α+3-λβ+2γ=0-3α-3β-λ+1γ=0
Эта система имеет нетривиальное решение, если определитель
-λ-1-223-λ2-3-3-λ-1=0.
λ3 – 2 λ2 – λ + 2 = 0.
Характеристическое уравнение имеет корни λ1 = -1, λ2 = 1, λ3 = 2.
Корню λ1 = -1 соответствует система
α-β-2γ=02α+4β+2γ=0-3α-3β=0
Второе уравнение является следствием первого и третьего . Исключая
второе уравнение, получим систему
α-β-2γ=0-3α-3β=0
Одно из ее решений α = 1, β=-1, γ = 1. Отсюда получаем одно решение
исходной системы уравнений x1 = e-t, y1 = -e-t, z1 = e-t.
Корню λ2 = 1 соответствует система
-α-β-2γ=02α+2β+2γ=0-3α-3β-2γ=0
Одно из ее решений α = 1, β=-1, γ = 0

. Исключая
второе уравнение, получим систему
α-β-2γ=0-3α-3β=0
Одно из ее решений α = 1, β=-1, γ = 1. Отсюда получаем одно решение
исходной системы уравнений x1 = e-t, y1 = -e-t, z1 = e-t.
Корню λ2 = 1 соответствует система
-α-β-2γ=02α+2β+2γ=0-3α-3β-2γ=0
Одно из ее решений α = 1, β=-1, γ = 0