Решить простейшую вариационную задачу Jy=12xy'2+yy'+xydx,y1=18,y2=12-ln2

Решить простейшую вариационную задачу Jy=12xy'2+yy'+xydx,y1=18,y2=12-ln2

Имеем:
Fx,y,y'=xy'2+yy'+xy
∂F∂y=y'+x
∂F∂y'=2xy'+y
Тогда:
ddx∂F∂y'=2y'+2xy''+y'
Записываем уравнение Эйлера:
∂F∂y-ddx∂F∂y'=0
y'+x-2y'+2xy''+y'=0
x-2xy''-2y'=0
Или: 2xy''+2y'=x
Найдем решение однородного уравнения:
2xy''+2y'=0
Частное решение ищем в виде y=xr. Тогда для r получаем уравнение:
rr-1+r=0
r2=0
r1,2=0
Следовательно, общее решение однородного уравнения:
y=c1+c2lnx
Частное решение неоднородного уравнения будем искать в виде y=Ax2 . Тогда y'=2Ax,y''=2A. Подставляем:
4Ax+4Ax=x A=18
Получили семейство экстремалей:
y=c1+c2lnx+x28
Подставляя начальные условия y1=18,y2=12-ln2, имеем:
18=c1+1812-ln2=c1+ln2+12 c1=0c2=-1
Получили допустимую экстремаль:
y=x28-lnx
Для всякой функции ηx∈C1[1;2], такой что η1=η2=0, имеем:
∆J=Jy+η-Jy=
=12xy'+η'2+y+η(y'+η')+xy+η-xy'2+yy'+xydx=
=122xy'η'+xη'2+y'η+yη'+ηη'+xηdx
Рассмотрим следующие слагаемые с учетом η1=η2=0:
122xy'η'dx=dv=η'dxv=ηu=2xy'du=y'+xy''dx=2xy'η12=0-122y'+xy''ηdx
12y'ηdx=dv=y'dxv=yu=ηdu=η'dx=yη12=0-12yη'dx
12ηη'dx=η2212=0
Тогда:
∆J=12-2y'+xy''η+xη'2+xηdx=
=12ηx-2xy''-2y'=0, ур-ние Эйлераdx+12xη'2dx≥0 при x∈1;2
Это означает, что экстремаль y=x28-lnx дает абсолютный минимум.

. Тогда y'=2Ax,y''=2A. Подставляем:
4Ax+4Ax=x A=18
Получили семейство экстремалей:
y=c1+c2lnx+x28
Подставляя начальные условия y1=18,y2=12-ln2, имеем:
18=c1+1812-ln2=c1+ln2+12 c1=0c2=-1
Получили допустимую экстремаль:
y=x28-lnx
Для всякой функции ηx∈C1[1;2], такой что η1=η2=0, имеем:
∆J=Jy+η-Jy=
=12xy'+η'2+y+η(y'+η')+xy+η-xy'2+yy'+xydx=
=122xy'η'+xη'2+y'η+yη'+ηη'+xηdx
Рассмотрим следующие слагаемые с учетом η1=η2=0:
122xy'η'dx=dv=η'dxv=ηu=2xy'du=y'+xy''dx=2xy'η12=0-122y'+xy''ηdx
12y'ηdx=dv=y'dxv=yu=ηdu=η'dx=yη12=0-12yη'dx
12ηη'dx=η2212=0
Тогда:
∆J=12-2y'+xy''η+xη'2+xηdx=
=12ηx-2xy''-2y'=0, ур-ние Эйлераdx+12xη'2dx≥0 при x∈1;2
Это означает, что экстремаль y=x28-lnx дает абсолютный минимум.