Решить операционным методом x''+6x'+13x=26,t∈0;40,t∉0;4;x0=-2,x'0=12

Решить операционным методом x''+6x'+13x=26,t∈0;40,t∉0;4;x0=-2,x'0=12

Применяем преобразование Лапласа:
x Xs
x' sXs-x0=sXs+2
x'' ssXs+2-x'0=s2Xs+2s-12
Правую часть записываем с помощью функции Хевисайда:
ft=26δ1t-δ1t-4
Тогда ее изображение:
ft 261s-e-4ss=261-e-4ss
Получаем операторное уравнение:
s2Xs+2s-12+6sXs+2+13Xs=261-e-4ss
Или:
s2+6s+13Xs=-2s+261-e-4ss
s+32+4Xs=-2s+261-e-4ss
Тогда:
Xs=-2ss+32+22+261-e-4sss+32+22
Запишем в следующем виде:
Xs=-2(s+3)s+32+22+6s+32+22+261-e-4sss+32+22
Используя соотношения:
eatcosbt s-as-a2+b2
eatsinbt bs-a2+b2
Получаем:
-2s+3s+32+22 -2e-3tcos2t
6s+32+22 3e-3tsin2t
Найдем оригинал для изображения:
26ss+32+22
Используя теорему об интегрировании оригинала:
0tftdt Fss
Получаем:
26ss+32+22 130te-3tsin2tdt=-e-3t3sin2t+2cos2t0t=
=2-e-3t3sin2t+2cos2t
Тогда, применяя теорему о запаздывании, находим:
261-e-4sss+32+22 2-e-3t3sin2t+2cos2t-2-e-3(t-4)3sin2(t-4)+2cos(2(t-4)δ1t-4
И решение задачи Коши:
x=-2e-3tcos2t+3e-3tsin2t+2-e-3t3sin2t+2cos2t-2-e-3(t-4)3sin2(t-4)+2cos(2(t-4)δ1t-4=
=2-4e-3tcos2t-2-e-3(t-4)3sin2(t-4)+2cos(2(t-4)δ1t-4
Которое можно записать следующим образом:
x=2-4e-3tcos2t,0≤t<4-4e-3tcos2t+e-3(t-4)3sin2(t-4)+2cos(2(t-4),t≥4
Убедимся в непрерывности решения:
limt→4-0xt=limt→4-02-4e-3tcos2t=2-4e-12cos8
limt→4+0xt=limt→4+0-4e-3tcos2t+e-3(t-4)3sin2(t-4)+2cos(2(t-4)=
=-4e-12cos8+2
Как видим:
limt→4-0xt=limt→4+0xt