Решить методом разделения переменных следующую задачу для уравнения Пуассона в прямоугольнике 0<x<a, 0<y<b ∆u≡∂2u∂x2+∂2u∂y2=6+6x+12x2, (1) u0,y=2y2, ua,y=2y2+3a2+a3+a4,

Решить методом разделения переменных следующую задачу для уравнения Пуассона в прямоугольнике 0<x<a, 0<y<b ∆u≡∂2u∂x2+∂2u∂y2=6+6x+12x2, (1) u0,y=2y2, ua,y=2y2+3a2+a3+a4, (2) ux,0=3x2+x3+x4, ux,b=3x2+x3+x4+2b2. (3)

Сначала избавимся от неоднородности в уравнении Пуассона (1). Для этого подберем частное решение уравнения (1), удовлетворяющее граничным условиям (2). Исходя из вида неоднородностей, эту функцию будем искать в виде
wx,y=Ax4+Bx3+Cx2+Dy2+Exy+Fx+Gy+H.
Подставляем в уравнение (1)
12Ax2+6Bx+2C+2D=6+6x+12x2,
и граничные условия (2)
Dy2+Gy+H=2y2,
Aa4+Ba3+Ca2+Dy2+Eay+Fa+Gy+H=2y2+3a2+a3+a4,
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях y в левой и правой частях этого равенства получим
12A=126B=62C+2D=6D=2G=0H=0Ea+G=0Aa4+Ba3+Ca2+Fa+H=3a2+a3+a4 ⟹ A=1B=1C=1D=2G=0E=0F=2aH=0
wx,y=x4+x3+x2+2y2+2ax.
Решение исходной задачи будем искать в виде суммы
ux,y=vx,y+wx,y=vx,y+x4+x3+x2+2y2+2ax.
Краевая задача для функции vx,y примет вид
∂2v∂x2+∂2v∂y2=0,
(4)
v0,y=0, va,y=0,
(5)
ux,0=vx,0+x4+x3+x2+2ax=3x2+x3+x4,
ux,b=vx,b+x4+x3+x2+2b2+2ax=3x2+x3+x4+2b2,
vx,0=2x2-2ax, vx,b=2x2-2ax.
(6)
Для решения краевой задачи (4) − (6) применим метод Фурье разделения переменных

. Будем искать нетривиальное решение задачи в виде произведения
vx,y=Xx⋅Yy.
Подставляем в уравнение (4)
X''x⋅Yy+Xx⋅Y''y=0.
Разделим равенство на Xx∙Y(y)
X''(x)X(x)+Y''yY(y)=0,
X''(x)X(x)=-Y''yY(y)=-λ2=const,
т.к. левая часть равенства зависит только от x, а правая – только от y.
В результате переменные разделяются, и получается два обыкновенных дифференциальных уравнения
X''x+λ2Xx=0,
(7)
Y''y-λ2Yy=0.
(8)
Подставляя vx,y в виде Xx⋅Yy в однородные граничные условия (5), получим
X0⋅Yy=0, X(a)⋅Yy=0.
Поскольку равенства должны выполняться тождественно, то
X0=0, X(a)=0.
Таким образом, для функции X(x) получили задачу Штурма-Лиувилля
X''x+λ2Xx=0 X0=0, X(a)=0
Общее решение имеет вид
Xx=C1cosλx+C2 sinλx
Неизвестные коэффициенты C1, C2 найдем из граничных условий
X0=C1=0 Xa=C2 sinλa=0
Получили следующее спектральное уравнение для нахождения собственных значений λ задачи Штурма-Лиувилля
sinλa=0,
λa=πn, n=1,2,3,…
Собственные значения задачи равны
λn=πna, n=1,2,3,…
Им соответствуют собственные функции (с точностью до постоянного множителя)
Xnx=sinλnx=sinπnxa, n=1,2,3,…
Уравнение (8) для функции Y(y) примет вид
Yn''y-λn2Yny=0.
Общее решение этого уравнения можно записать в виде
Yny=Anchλny+Bnshλny.
Удобнее фундаментальную систему решений уравнения взять в виде shλn(b-y, shλny и решение записать как
Yny=Anshλn(b-y+Bnshλny.
Решение vx,y исходной задачи записывается в виде тригонометрического ряда Фурье по собственным функциям
vx,y=n=1∞XnxYny=n=1∞Anshπn(b-y)a+Bnshπnyasinπnxa.
Неизвестные коэффициенты An,Bn этого ряда определим из граничных условий (3)
vx,0=n=1∞Anshπnbasinπnxa=2x2-2ax,
vx,b=n=1∞Bnshπnbasinπnxa=2x2-2ax.
В силу полноты системы собственных функций sinπnxan=1∞ из этих условий следует, что коэффициенты Anshπnba=Bnshπnba и будут коэффициентами разложения функции 2x2-2ax в ряд Фурье по этой системе функций