Решить краевую задачу для однородного параболического уравнения с однородными граничными условиями ut=uxx-3u, 0<x<π, t>0, (1) u0,t=0,

Решить краевую задачу для однородного параболического уравнения с однородными граничными условиями ut=uxx-3u, 0<x<π, t>0, (1) u0,t=0, uxπ,t=0, (2) ux,0=sinx2π. (3) Замечание: В условии явно опечатка, сказано "для однородного параболического уравнения", а написано неоднородное (присутствует 3x). Наверняка уравнение должно быть однородным (как в остальных вариантах), скорее всего как в вариантах 2−4. В общем надо уточнить у преподавателя.

Для решения начально-краевой задачи (1) − (3) применим метод Фурье разделения переменных. Будем искать нетривиальное решение задачи в виде произведения
ux,t=Xx∙Tt.
Подставим предполагаемую форму решения в уравнение (1)
Xx∙T't=X''x∙Tt-3Xx∙Tt,
Xx∙T't+3Xx∙Tt=X''x∙Tt.
Разделим равенство на Xx∙T(t)
T'(t)T(t)+3=X''xXx=-λ=const,
т.к. левая часть равенства зависит только от t, а правая – только от x.
В результате переменные разделяются, и получается два обыкновенных дифференциальных линейных уравнения
X''(x)+λXx=0.
T't+3+λTt=0.
Подставляя ux,t в виде Xx∙Tt в граничные условия (2), получим
X0⋅Tt=0, X'π⋅Tt=0.
Поскольку равенства должны выполняться тождественно, то
X0=0, X'π=0.
Таким образом, для функции X(x) получили задачу Штурма-Лиувилля
X''(x)+λXx=0X0=0, X'π=0
Общее решение уравнения имеет вид
Xx=C1cosλx+C2 sinλx,
X'x=-λC1sinλx+λC2 cosλx.
Неизвестные коэффициенты C1, C2 найдем из граничных условий
X0=C1=0 X'π=-λC1sinπλ+λC2 cosπλ=λC2 cosπλ=0
Получили следующее спектральное уравнение для нахождения собственных значений λ задачи Штурма-Лиувилля
cosπλ=0,
πλ=π2+πn=1+2n2, n=0,1,2,…
Собственные значения задачи равны
λn=1+2n22, n=0,1,2,…
Им соответствуют собственные функции (с точностью до постоянного множителя)
Xnx=sin(1+2n)x2, n=0,1,2,…
Уравнение для функции Tt примет вид
Tn't+3+1+2n22Tnt=0.
Общее решение этого уравнения имеет вид
Tnt=Ane-3+1+2n22t
Решение ux,t записывается в виде ряда по собственным функциям
ux,t=n=0∞TntXnx=n=0∞Ane-3+1+2n22tsin(1+2n)x2.
Коэффициенты An этого ряда найдем из начального условия (3)
ux,0=n=0∞Ansin(1+2n)x2=sinx2π.
Коэффициенты An представляют собой коэффициенты разложения функции sinx2π в ряд Фурье по собственным функциям sin(1+2n)x2n=0∞
An=2π0πsinx2πsin1+2nx2dx
=1π0πcos(1+2n)x2-x2π-cos(1+2n)x2+x2πdx=
=1π0πcos(1+2nπ-1)x2π-cos(1+2nπ+1)x2πdx=
=1π2πsin1+2nπ-1x2π1+2nπ-1-2πsin1+2nπ+1x2π1+2nπ+10π=
=2sin1+2nπ-121+2nπ-1-sin1+2nπ+121+2nπ+1=
=2-1ncos121+2nπ-1--1ncos121+2nπ+1=4-1ncos121+2n2π2-1
Решение исходной задачи ux,t будет
ux,t=n=0∞4-1ncos121+2n2π2-1e-3+1+2n22tsin(1+2n)x2.
Ответ:
ux,t=4cos12n=0∞-1ne-3+1+2n22t1+2n2π2-1sin(1+2n)x2.