Решить линейное однородное уравнение: us+4-5us+3-17us+2+105us+1+116us=0

Решить линейное однородное уравнение: us+4-5us+3-17us+2+105us+1+116us=0

Составим и решим характеристическое уравнение:
λ4-5λ3-17λ2+105λ+116=0
Один из корней λ1=-1. Разделим данный многочлен на λ+1:
λ4-5λ3-17λ2+105λ+116
λ+1
λ4+λ3
λ3-6λ2-11λ+116
-6λ3-17λ2
-6λ3-6λ2
-11λ2+105λ
-11λ2-11λ
116λ+116
116λ+116
λ3-6λ2-11λ+116=0
Один из корней λ2=-4 . Разделим на λ+4:
λ3-6λ2-11λ+116 λ+4
λ3+4λ2
λ2-10λ+29
-10λ2-11λ
-10λ2-40λ
29λ+116
29λ+116
λ2-10λ+29=0, D=100-116=-16<0-корни комплексные.
λ3,4=10±4i2=5±2i.
Запишем корни в тригонометрической форме:
λ3,4=52+22=29.
λ3=5+2i
Поскольку x=5> 0, y=2 > 0, то arg(z) находим как: 
argz=φ=arctgyx=arctg25.
Таким образом, тригонометрическая форма комплексного числа
z = 5+2i:z=29cosarctg25+isinarctg25.
Каждой паре комплексно сопряжённых корней ρ·(cosw+isinw), ρ·(cosw-isinw), ρsinw≠0, кратностей m соответствуют 2m частных решений: 29scosarctg25s и 29ssinarctg25s.
В итоге данное уравнение имеет два вещественных и два комплексно-сопряженных корня, решение имеет вид:
us=C1-1s+C2-4s+29sC3cosarctg25s+C4sinarctg25s,
где C1, C2, C3, C4-const.
Ответ

. Разделим на λ+4:
λ3-6λ2-11λ+116 λ+4
λ3+4λ2
λ2-10λ+29
-10λ2-11λ
-10λ2-40λ
29λ+116
29λ+116
λ2-10λ+29=0, D=100-116=-16<0-корни комплексные.
λ3,4=10±4i2=5±2i.
Запишем корни в тригонометрической форме:
λ3,4=52+22=29.
λ3=5+2i
Поскольку x=5> 0, y=2 > 0, то arg(z) находим как: 
argz=φ=arctgyx=arctg25.
Таким образом, тригонометрическая форма комплексного числа
z = 5+2i:z=29cosarctg25+isinarctg25.
Каждой паре комплексно сопряжённых корней ρ·(cosw+isinw), ρ·(cosw-isinw), ρsinw≠0, кратностей m соответствуют 2m частных решений: 29scosarctg25s и 29ssinarctg25s.
В итоге данное уравнение имеет два вещественных и два комплексно-сопряженных корня, решение имеет вид:
us=C1-1s+C2-4s+29sC3cosarctg25s+C4sinarctg25s,
где C1, C2, C3, C4-const.
Ответ