Решить однородное уравнение теплопроводности с однородными (неоднородными) граничными и начальными условиями методом Фурье. ut=uxx, 0<x<1,

Решить однородное уравнение теплопроводности с однородными (неоднородными) граничными и начальными условиями методом Фурье. ut=uxx, 0<x<1, t>0, (1) ux0,t=0, u1,t=0, (2) ux,0=x-1. (3)

Для решения смешанной задачи (1) − (3) применим метод Фурье разделения переменных. Будем искать нетривиальное частное решение задачи в виде произведения
ux,t=Xx∙Tt.
Подставим предполагаемую форму решения в исходное уравнение (1)
Xx∙T't=X''x∙Tt.
Разделим равенство на Xx∙T(t)
T'(t)T(t)=X''xXx=-λ=const,
т.к. левая часть равенства зависит только от t, а правая – только от x.
В результате переменные разделяются, и получается два линейных обыкновенных дифференциальных уравнения
T't+λTt=0,
X''(x)+λXx=0.
Подставляя ux,t в виде Xx∙Tt в граничные условия (2), получим
Tt⋅X'0=0, Tt⋅X1=0.
Поскольку равенства должны выполняться тождественно, то
X'0=0, X1=0.
Таким образом, для функции X(x) получили задачу Штурма-Лиувилля
X''(x)+λXx=0X'0=0, X1=0
Общее решение имеет вид
Xx=C1cosλx+C2 sinλx,
X'x=-λC1sinλx+λC2 cosλx.
Неизвестные коэффициенты C1, C2 найдем из граничных условий
X'0=λC2=0 ⇒ C2=0 X1=C1cosλ=0
Получили следующее спектральное уравнение для нахождения собственных значений λ задачи Штурма-Лиувилля
cosλ=0,
λ=π2+πn=π(1+2n)2, n=0,1,2,…
Собственные значения задачи равны
λn=π1+2n22, n=0,1,2,…
Им соответствуют собственные функции (с точностью до постоянного множителя)
Xnx=cosπ(1+2n)x2, n=0,1,2,…
Уравнение для функции Tt примет вид
Tn'(t)+π1+2n22Tnt=0.
Общее решение этого уравнения имеет вид
Tnt=Ane-π1+2n22t.
Решение ux,t исходной задачи представим в виде ряда по собственным функциям
ux,t=n=0∞TntXnx=n=0∞Ane-π1+2n22tcosπ1+2nx2.
Коэффициенты An этого ряда найдем из начального условия (3)
ux,0=n=0∞Ancosπ1+2nx2=x-1.
В силу полноты системы собственных функций cosπ1+2nx2n=0∞ на отрезке 0;1, коэффициенты An представляют собой коэффициенты разложения функции x-1 в ряд Фурье по собственным функциям cosπ1+2nx2n=0∞
An=2101x-1cosπ1+2nx2dx=4π1+2n01x-1dsinπ1+2nx2=
=4π1+2nx-1sinπ1+2nx201=0-01sinπ1+2nx2dx=
=8π21+2n2cosπ1+2nx201=-8π21+2n2.
Решение исходной задачи ux,t будет
ux,t=-n=0∞8π21+2n2e-π1+2n22tcosπ1+2nx2.
Ответ:
ux,t=-8π2n=0∞e-π1+2n22t1+2n2cosπ1+2nx2.