Решить операционным методом x''+4x'+5x=15,t∈0;10,t∉0;1;x0=x'0=1

Решить операционным методом x''+4x'+5x=15,t∈0;10,t∉0;1;x0=x'0=1

Применяем преобразование Лапласа:
x Xs
x' sXs-x0=sXs-1
x'' ssXs-1-x'0=s2Xs-s-1
Правую часть записываем с помощью функции Хевисайда:
ft=15δ1t-δ1t-1
Тогда ее изображение:
ft 151s-e-ss=151-e-ss
Получаем операторное уравнение:
s2Xs-s-1+4sXs-1+5Xs=151-e-ss
Или:
s2+4s+5Xs=s+5+151-e-ss
Тогда:
Xs=s+5s+22+1+151-e-sss+22+1
Xs=s+2s+22+1+3s+22+1+151-e-sss+22+1
Используя соотношения:
eatcost s-as-a2+1
eatsint 1s-a2+1
Получаем:
s+2s+22+1 e-2tcost
1s+22+1 e-2tsint
Найдем оригинал для изображения:
15ss+22+1
Используя теорему об интегрировании оригинала:
0tftdt Fss
Тогда:
15ss+22+1 150te-2tsintdt=-3e-2t2sint+cost0t=
=3-3e-2t2sint+cost
Тогда, применяя теорему о запаздывании, находим:
151-e-sss+22+1 3-3e-2t2sint+cost-3-3e-2t-12sint-1+cost-1δ1t-1
И решение задачи Коши:
x=e-2tcost+3e-2tsint+3-3e-2t2sint+cost-3-3e-2t-12sint-1+cost-1δ1t-1=
=3-e-2t3sint+2cost-3-3e-2t-12sint-1+cost-1δ1t-1
Которое можно записать следующим образом:
x=3-e-2t3sint+2cost,0≤t<1-e-2t3sint+2cost+3e-2t-12sint-1+cost-1,t≥1
Убедимся в непрерывности решения:
limt→1-0xt=limt→1-03-e-2t3sint+2cost=3-e-23sin1+2cos1
limt→1+0xt=limt→0-0-e-2t3sint+2cost+3e-2t-12sint-1+cost-1=
=-e-23sin1+2cos1+3
Как видим:
limt→1-0xt=limt→1+0xt