Решить операционным методом x1'=5x1-18x2-22e-tx2'=2x1-7x2-7e-t;x10=1,x20=-1

Решить операционным методом x1'=5x1-18x2-22e-tx2'=2x1-7x2-7e-t;x10=1,x20=-1

Применяем преобразование Лапласа:
x1 X1s
x1' sX1s-x10=sX1s-1
x2 X2s
x2' sX2s-x20=sX2s+1
e-t 1s+1
И получаем систему операторных уравнений:
sX1s-1=5X1s-18X2s-22s+1sX2s+1=2X1s-7X2s-7s+1
Или:
s-5X1s+18X2s=s-21s+1-2X1s+s+7X2s=-s+8s+1
Решая которую по формулам Крамера, получаем:
∆=s-518-2s+7=s-5s+7+36=s2+2s+1=s+12
∆1=s-21s+118-s+8s+1s+7=s-21s+7+18s+8s+1=s2+4s-3s+1
∆2=s-5s-21s+1-2-s+8s+1=-s-5s+8+2s-21s+1=-s2-s-2s+1
Получаем изображения:
X1s=∆1∆=s2+4s-3(s+1)3=s+12+2s+1-6(s+1)3=1s+1+2s+12-6(s+1)3
X2s=∆2∆=-s2-s-2(s+1)3=-s+12+s+1-2(s+1)3=-1s+1+1s+12-2(s+1)3
Используя соотношение:
e-t 1s+1
И применяя теорему о дифференцировании изображения:
-1ntnft Fns
Получаем:
te-t 1s+12
t2e-t 2s+13
Восстанавливаем оригиналы и получаем решение задачи Коши:
x1=1+2t-3t2e-tx2=(-1+t-t2)e-t