Решить интегральное уравнение: 0tφτcos2t-τdτ=φt-1

Решить интегральное уравнение: 0tφτcos2t-τdτ=φt-1

Применяем преобразование Лапласа:
φt Fp
1 1p
cos2t pp2+4
Теорему о свертке функций (свертке функций соответствует произведение изображений)
0tφτcos2t-τdτ pp2+4F(p)
И получаем операторное уравнение:
pp2+4F(p)=Fp-1p
1-pp2+4Fp=1p
p2-p+4p2+4Fp=1p
Fp=p2+4pp2-p+4
Представим суммой дробей вида:
Ap+Bp+Cp2-p+4
Тогда:
Ap+Bp+Cp2-p+4=Ap2-p+4+Bp+Cppp2-p+4=A+Bp2+C-Ap+4App2-p+4
Приравниваем соответствующие коэффициенты:
A+B=1C-A=04A=4 A=1B=0C=1
Получили:
Fp=1p+1p2-p+4=1p+1p-122+1522
Используя соотношение:
sinat ap2+a2
И теорему о смещении:
ebtft Fp-b
Восстанавливаем оригинал и получаем решение уравнения:
φt=1+21515et2sin152t