Решить уравнение, допускающие понижения порядка x2y''=y'2

Решить уравнение, допускающие понижения порядка x2y''=y'2

В данном уравнении второго порядка явно не входит неизвестная функция. Следовательно сделаем замену: y'=z(x) y''=z'(x).
Тогда
x2z'=z2
или
x2dzdx=z2 - уравнение с разделяющими переменными.
dzz2=dxx2
Проинтегрируем левую и правую часть уравнения
dzz2=dxx2
z-2dz=x-2dx
z-2+1-2+1=x-2+1-2+1-C1
z-1-1=x-1-1-C1
1z=1x+C1
1z=1+xC1x
z=xxC1+1
Так как z=y', тогда
y'=xxC1+1
Тогда
y=xxC1+1dx=C1xC1xC1+1dx=1C1xC1+1-1xC1+1dx=
=1C1xC1+1xC1+1-1xC1+1dx=1C11dx-1C11xC1+1dx=
=1C11dx-1C12dxC1+1xC1+1=1C1x-1C12lnxC1+1+C2
Ответ