Решить уравнение колебания струны, закрепленной на концах методом Фурье (методом разделения переменных): utt=19uxx,x∈0;3,t∈0;+∞ ux,0=0,utx,0=x3-x,u0,t=u3,t=0

Решить уравнение колебания струны, закрепленной на концах методом Фурье (методом разделения переменных): utt=19uxx,x∈0;3,t∈0;+∞ ux,0=0,utx,0=x3-x,u0,t=u3,t=0

Согласно методу Фурье решение уравнения будем искать в виде произведения двух функций:
u=ux,t=X(x)T(t)
При этом функция X(x) зависит только от x, а T(t) – только от t.
Подставляем в уравнение:
XxT''t=19X''(x)T(t)
Разделяем переменные:
9T''(t)Tt=X''(x)Xx
Имеем тождественное равенство двух функций, зависящих от разных переменных. Значит, каждая из этих функций есть константа (обозначим λ):
9T''(t)Tt=X''(x)Xx=λ
Данное соотношение равносильно системе уравнений:
X''x-λXx=0T''t-λ9Tt=0
Граничные условия X0Tt=0 и X3Tt=0 дают X0=X3=0, т.е. ищем ненулевые решения уравнения X''x-λXx=0 - обыкновенного линейного дифференциальные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами

. Его характеристическое уравнение:
k2-λ=0
Рассмотрим возможные случаи:
а) λ=0 Xx=c1x+c2
Условия X0=X3=0 дают только тривиальное решение c1=c2=0, т.е. X(x)≡0, поэтому λ=0 отбрасываем.
б) λ>0 Xx=c1eλx+c2e-λx
Пробуем удовлетворить краевым условиям X0=X3=0:
c1+c2=0c1e3λ+c2e-3λ=0
Получаем опять же c1=c2=0, поэтому λ>0 отбрасываем.
в) λ<0 Xx=c1cos-λx+c2sin-λx.
Пробуем удовлетворить краевым условиям X0=X3=0:
c1cos0+c2sin0=0c1cos3-λ+c2sin3-λ=0 c1=0c2sin3-λ=0
Тогда:
c2sin3-λ=0 3-λ=πn λ=-π2n29
Т.е. получили собственные функции вида:
X=cnsinπn3x
Возвращаемся к уравнению T''t-λ9Tt=0